Para cualquier $x\in\mathbb R$ y cualquier entero positivo $n$,$\ $es $\left|\sum_{k=1}^n\frac{\sin{kx}}{k}\right|\le2\sqrt{\pi}$ verdad?

Question

Estoy interesado en encontrar el min de las constantes de $C$ tal que $$\left|\sum_{k=1}^n\frac{\sin{kx}}{k}\right|\le C.$$

Mediante el uso de ordenador, he llegado a las siguientes expectativas:

$$\left|\sum_{k=1}^n\frac{\sin{kx}}{k}\right|\le2\sqrt{\pi}$$ para cualquier $x\in\mathbb R$ y cualquier entero positivo $n$.

Puedo ni probar este ni encontrar ningún contraejemplo incluso por el uso de la computadora. Si mi expectativa es cierto, entonces, ¿podrías mostrarme cómo probar que? También, por favor, muéstrame si $2\sqrt{\pi}$ es el min de tal $C$.

Si no es cierto, por favor, muéstrame el contraejemplo. Necesito de su ayuda.

Answer 1

El mejor es posible afirmar es: $$\left|\sum_{n=1}^N \frac{\sin(nx)}{n}\right|\leq\int_{0}^{1}\frac{\sin(\pi x)}{x}\,dx = 1.85194\ldots$$ Llame a $f_N(x)=\sum_{n=1}^N \frac{\sin(nx)}{n}$: es una $2\pi$-función periódica convergentes a$\frac{\pi-x}{2}$$L_2\left([0,2\pi]\right)$. Desde: $$\frac{d f_N(x)}{dx}= \frac{\cos\left(\frac{N+1}{2}x\right)\sin\left(\frac{N}{2}x\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)},$$ sabemos que $f_N(x)$ $2n$ puntos estacionarios en $[0,2\pi]$, los máximos locales en $x=\frac{(2k+1)\pi}{N+1}$, el primero que ocurre en $x_N=\frac{\pi}{N+1}$. Una vez que se prueba que el valor de $f_N(x)$ en cualquier otro local máximo es de menos de $f_N(x_N)$, $f_N(x_N)$ es un aumento de la secuencia (yo todavía debe encontrar una prueba convincente de estos dos hechos, pero su apariencia no es muy difícil de tratar y fuertemente apoyado por el equipo de inspección) de la mejor obligado podemos esperar es: $$\left|\sum_{n=1}^N \frac{\sin(nx)}{n}\right|\leq\lim_{N\to +\infty}\sum_{n=1}^{N}\frac{\sin\left(\frac{\pi x}{N+1}\right)}{n},$$ donde el lado derecho de una suma de Riemann asociada con: $$\int_{0}^{1}\frac{\sin(\pi x)}{x}\,dx = 1.85194\ldots<\frac{13}{7},$$ QED.