Demostrando Identidad trigonométrica

Question

Me gustaría probar y probar

$$\frac{1+\sin x}{\cos x} = \frac{1+\sin x+\cos x}{1-\sin x+\cos x}$$

el uso de $LHS=RHS$ métodos, es decir, escoger un lado y volver a escribir para que sea idéntica a la del otro lado.

He encontrado una forma rápida haciendo esto:

$$LHS = \frac{1+\sin x}{\cos x} = \frac{1+\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1 - \tan x + \sec x}{1 - \tan x + \sec x}= \frac{1+\sin x+\cos x}{1-\sin x+\cos x} = RHS$$

pero creo que este no es un buen camino, porque estoy manipulando el denominador de la LHS, algo artificialmente, porque yo sé que debe ser, al final, $1-\sin x+\cos x$.

¿Alguien tiene una mejor manera de hacer esto?

Answer 1

El uso de $\cos^2x+\sin^2x=1$, tenemos $$ (1+\sin x)(1-\sin x+\cos x)=1-\sin^2x+(1+\sin x)\cos x=\cos x(\cos x+1+\sin x).$$ Ahora dividir la LHS por $1-\sin x+\cos x$ y la RHS por $\cos x$ para obtener el resultado.

Answer 2

Para $b\not=0$ tenemos: $$\begin{align*}\frac{1+a}{b} &= \frac{1+a+b}{1-a+b}\qquad&\iff \\ (1+a)(1-a+b) &= b(1+a+b)\qquad&\iff\\ 1-a^2+b(a+1) &= b^2 + b(a+1)\qquad&\iff\\ a^2+b^2&=1 \end{align*}$$ Por lo que su ecuación es una forma alternativa de caracterizar $\cos^2 x+\sin^2 x = 1$