Demostrar que en HoTT si los tipos de $A$ $B$ están conectados y $\Omega A = \Omega B$, $A = B$

Question

En Homotopy Tipo de Teoría, supongamos que $A, B : \mathcal{U}$, e $a_0 : A$ e $b_0 : B$.

Además, suponga que a y B están conectados, por lo que tenemos $\prod_{a:A}||a_0 = a||$ y lo mismo para B.

Finalmente, supongamos que $(a_0 = a_0) = (b_0 = b_0)$.

Es posible que a partir de estas condiciones de probar que $A=B$? Desde mi comprensión de los tipos como $\infty-$groupoids, parece que debería ser posible.

Answer 1

Aquí es un contraejemplo:

Considerar la Eilenberg-Mac Lane espacios de $K(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2,1)$ e $K(\mathbb{Z}_4,1)$. Esos no son equivalentes conectados tipos equivalente (de ahí la igualdad) bucle de espacios. El problema aquí es que la equivalencia de bucle de espacios es sólo una equivalencia entre dos de 4 tipos de elementos, pero no un grupo de isomorfismo.