Evaluación de $\int\frac{1}{x^4-5x^2+16}dx$

Question

Evaluación de $\displaystyle \int\frac{1}{x^4-5x^2+16}\,dx$

$\bf{My\; Try::}$ $$\displaystyle \int\frac{1}{x^4-5x^2+16}dx = \frac{1}{8}\int\frac{\left(x^2+4\right)-\left(x^2-4\right)}{x^4-5x^2+16}\,dx$$

Así, obtenemos $$\displaystyle = \frac{1}{8}\int\frac{x^2+4}{x^4-5x^2+16}\,dx-\frac{1}{8}\int\frac{x^2-4}{x^4-5x^2+16}\,dx$$

Así, obtenemos $$\displaystyle = \frac{1}{8}\int\frac{1+\frac{4}{x^2}}{\left(x-\frac{4}{x}\right)^2+\left(\sqrt{3}\right)^2}dx-\frac{1}{8}\int\frac{1-\frac{4}{x^2}}{\left(x+\frac{4}{x}\right)^2-\left(\sqrt{13}\right)^2}\,dx$$

Ahora, Utilizando $$\displaystyle \left(x-\frac{4}{x}\right)=t$$ and $$\displaystyle \left(1+\frac{4}{x^2}\right)dx = dt$$ en la Primera Integral y

El uso de $$\displaystyle \left(x+\frac{4}{x}\right)=u$$ and $$\displaystyle \left(1-\frac{4}{x^2}\right)\,dx = du$$ en la Segunda Integral.

Así, Obtenemos $$\displaystyle = \frac{1}{8}\int\frac{1}{t^2+\left(\sqrt{3}\right)^2}dt-\frac{1}{8}\int\frac{1}{u^2-\left(\sqrt{13}\right)^2}\,du$$

Así, Obtenemos $$\displaystyle = \frac{1}{8\sqrt{3}}\tan^{-1}\left(\frac{x^2-4}{\sqrt{3}x}\right)-\frac{1}{16\sqrt{13}}\ln \left|\frac{x^2-\sqrt{13}x+4}{x^2+\sqrt{13}x+4}\right|+{C}$$

Mi pregunta es ¿podemos resolver la pregunta de arriba de cualquier otro Método, Si sí, entonces

favor de explicar aquí. Gracias

Answer 1

Uso de las funciones hiperbólicas. El integrando puede ser enunciada como $ \frac {4}{4x^4 - 20x^2 + 64} = \frac {4}{(2x^2 - 5)^2 + 39} $

Deje $ x = \sqrt{ \frac{5}{2} }\cosh y $, $ \mathrm{d} x = \sqrt{ \frac {5}{2} } \sinh y \space \mathrm{d} y $

La integral se convierte en

$ \displaystyle 4 \cdot \sqrt{ \frac {5}{2} } \int \frac {\sinh y}{5 \sinh^2 y + 39 } \space \mathrm{d} y $

El uso de la identidad de $ \sinh^2 A - \cosh^2 A = -1 $, aplicar otra sustitución de $ \cosh y = \frac {1}{\sqrt 5} z $

A continuación, se aplican $ \int \frac {1}{x^2+a^2} \mathrm{d}x = \frac {1}{a} \ \arctan \left ( \frac {x}{a} \right ) $ $ x > 0 $

De vuelta a sustituir todo lo que obtiene su respuesta

Answer 2

Factor del denominador y ampliar la función racional en fracciones parciales:

\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{4}-5x^{2}+16} &=&\frac{1}{\left( x^{2}-\sqrt{13}x+4\right) \left( x^{2}+\sqrt{13}x+4\right) } \\ &=&\frac{1}{104}\frac{\sqrt{13}x+13}{x^{2}+\sqrt{13}x+4}-\frac{1}{104}\frac{ \sqrt{13}x-13}{x^{2}-\sqrt{13}x+4}. \end{eqnarray*}

A continuación, completar el cuadrado en el denominador

\begin{equation*} \frac{1}{x^{4}-5x^{2}+16}=\frac{\sqrt{13}}{104}\frac{x+13/\sqrt{13}}{\left( x+\sqrt{13}/2\right) ^{2}+3/4}-\frac{\sqrt{13}}{104}\frac{x-13/\sqrt{13}}{ \left( x-\sqrt{13}/2\right) ^{2}+3/4}, \end{ecuación*}

y uso, respectivelly, las sustituciones $$u=x+\sqrt{13}/2,\qquad \text{and}\qquad v=x-\sqrt{13}/2.$$

Answer 3

Usted puede darse cuenta de que $x^4-5x^2+16$ puede ser factorizado como $(x-a)(x-b)(x+a)(x+b)$ donde $a$ $b$ son números complejos. A continuación, parcial fracción de descomposición llevaría a muy sencillas y el resultado integral va a ser la suma de cuatro logaritmos.

Sin embargo, es más probable que la recombinación de los resultados en términos de reales podría ser bastante tedioso.