Es esta la prueba de la unicidad del límite correcto?

Question

He tratado de mostrar la siguiente: vamos a $(M,d_M)$ $(N,d_N)$ ser métrica espacios y $f : M \to N$. Si $a \in M$ $\lim_{p\to a}f(p)$ existe, entonces es único.

Estoy un poco inseguro de si la prueba es correcta, principalmente el uso del teorema del sándwich en la final. Es esto una prueba de uno bueno?

Mi prueba fue el siguiente: supongamos que hay dos límites, $L_1$$L_2$, entonces por la definición, $\epsilon/2 > 0$ no sería $\delta_1 > 0$ $\delta_2 > 0$ tal que si tomamos $\delta = \min\{\delta_1,\delta_2\}$, esto significa que $d_M(p,a) < \delta$ implica $d_N(f(p),L_1)<\epsilon/2$ y, al mismo tiempo,$d_N(f(p),L_2)<\epsilon/2$.

Ahora, sumando estas dos desigualdades, tenemos $d_N(f(p),L_1)+d_N(f(p),L_2)<\epsilon$, pero $d_N(f(p),L_1)=d(L_1,f(p))$ e lo $d_N(L_1,f(p))+d_N(f(p),L_2)<\epsilon$, ahora ya tenemos el triángulo de la desigualdad que tenemos,$d_N(L_1,L_2)\leq d_N(L_1, f(p))+d_N(f(p),L_2)<\epsilon$. Desde $\epsilon>0$ y desde $d_N$ es la métrica, ahora tenemos que $-\epsilon < d_N(L_1,L_2)<\epsilon$ y, a continuación, si definimos $\phi_1,\phi,\phi_2 : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ por $\phi_1(\epsilon)=-\epsilon$, $\phi(\epsilon)=d_N(L_1,L_2)$ y $\phi_2(\epsilon)=\epsilon$ nos enteramos de que en realidad tenemos:

$$\phi_1(\epsilon) < \phi(\epsilon) < \phi_2(\epsilon)$$

Ahora tomando el límite en $\mathbb{R}$ al $\epsilon$ va a cero, $\phi_1(\epsilon)$ $\phi_2(\epsilon)$ va a cero, y por lo que el límite de $\phi(\epsilon)$ $\epsilon$ va a cero, debe ser cero. Pero desde $\phi$ independs en $\epsilon$ esto implica que $\phi = 0$ $d_N(L_1,L_2) = 0$ lo que implica por las propiedades de la métrica con la que se $L_1 = L_2$.

Me sentí de esta prueba es demasiado simple, por lo que estoy casi seguro de que hay algún pequeño detalle que se me olvidó. Es correcto?

Muchas gracias de antemano!

Answer 1

La prueba es esencialmente correcta, pero el estilo no es el mejor.
Cuando se han demostrado que $\;d_N(L_1,L_2)<\epsilon$, por lo que se hace porque,$\;d_N(L_1,L_2) \ge 0$.
Recuerde que la proposición:

Si $\; 0 \le a < \epsilon$ por cada $\epsilon>0$,$a=0$.

Esto lo vemos en la prueba de un Maestro:

J. Dieudonné Bases de la Moderna Análisis (1960), prop. (3.13.3) pág. 47.

Answer 2

La prueba parece correcta. Usted podría proceder más rápido aunque.

Supongamos que no. A continuación, hay dos límites a$L_{1}$$L_{2}$. Tome $0<\epsilon=d_{N}(L_{1},L_{2})$. Por la definición de límite no es $\delta_{1}$ $\delta_{2}$ que si $d_{M}(p,a)<\delta_{1}$ $d_{N}(f(p),L_{1})<\frac{\epsilon}{100}$ e si $d_{M}(p,a)<\delta_{2}$$d_{N}(f(p),L_{2})<\frac{\epsilon}{100}$. Deje $\delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}$. Entonces si $d_{M}(p,a)<\delta$$d_{N}(L_{1},L_{2})\le d_{N}(L_{1},f(p))+d_{N}(f(p),L_{2})<\frac{\epsilon}{100}+\frac{\epsilon}{100}=\frac{\epsilon}{50}=\frac{1}{50}d_{N}(L_{1},L_{2})$. Por lo $49d_{N}(L_{1},L_{2})<0$ lo cual es imposible.