Entiendo la definición de funciones características utilizada en teoría de la probabilidad: Para una Variable aleatoria $X$ con función de densidad de probabilidad $f_X$ la función característica se define como $$\phi_X(t) = E(\exp(itX)) = \int_{\mathbf{R}} e^{\mathrm{i}tx}f_X(x)\, dx.$$
He leído que
[...] la función característica en contextos no probabilísticos se denomina transformada de Fourier (Página 342, de Probability and Measure. P.Billingsley 3rd editon).
Pero todavía no puedo ver esto desde sus definiciones, porque la transformada de Fourier $f^*$ de una función $f$ se define como sigue:
$$ f^*(t) = \int_{\mathbf{R}^n} f(x)\,e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x$$
Si la función $f$ es una densidad, por ejemplo $f=f_X$ , entonces la transformada de Fourier se puede escribir como $$ f^*_X = \int_{\mathbf{R}^n} f_X(x)\,e^{-\mathrm{i} t \cdot x} \,\mathrm{d} x \neq \int_{\mathbf{R}} e^{\mathrm{i}tx}f_X(x)\, dx = \phi_X(t) $$ Las definiciones difieren con un punto negativo, ¿por qué no se pueden utilizar ambas para lo mismo (por ejemplo, para la deconvolución)?
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Sí, como usted señala $f_X^* = \phi_X(-t)$ . Cada uno de ellos puede ser utilizado para las cosas que usted utiliza el otro, siempre y cuando mantengas el cambio de signo recto (y en algunas definiciones, diferentes constantes por delante) al ir en sentido contrario (invirtiendo la transformación).
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Hay dos raíces cuadradas de $-1$ . Los matemáticos utilizan uno de ellos y lo llaman $i$ Los ingenieros utilizan el otro y lo llaman $j$ . Desde $j = -i$ la función característica $\int e^{itx} f(x) dx$ utilizada por los matemáticos es exactamente la misma que la transformada de Fourier $\int e^{-jtx} f(x) dx$ utilizado por los ingenieros
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