Pregunta sobre las raíces primitivas de la unidad

Question

Deje $p$ ser impar el primer y $\omega$ ser una primitiva $p$^th raíz de la unidad. La pregunta es para probar que:

$$(1-\omega)(1-\omega^2) \cdots (1-\omega^{p-1})=p$$

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Lo que he hecho hasta ahora es:

Puedo ver que esto es cierto para $p=3$

$$(1-\omega)(1-\omega^2)=1-(\omega+\omega^2)+w^3=1-(-1)+1=3=p$$

Yo no soy capaz de demostrar esto en general....

$$(1-\omega)(1-\omega^2) \cdots (1-\omega^{p-1})=1-(\omega+\omega^2+\cdots+\omega^{p-1})+????+\omega^{\frac{p(p-1)}{2}}$$

No tengo idea de lo que eso $????$ podría ser, pero todo lo que puedo decir es:

• $(\omega+\omega^2+\cdots +\omega^{p-1})=-1$
• $\omega^{\frac{p(p-1)}{2}}=1$

Por eso, $(1-\omega)(1-\omega^2)\cdots (1-\omega^{p-1})=3+????$

Yo no soy capaz de hacer más que esto.

Podría haber algunos (duro) forma de hacerlo con la mano multiplicando todas esas cosas, pero estoy buscando una más teórica de la idea.

Por favor me ayudan a aclarar esto.

Answer 1

Recordar la fórmula para la suma de $1+x+x^2+\cdots+x^n = {x^{n+1}-1 \over x-1}$ al $x\neq 1$.

En particular, esto demuestra que $f(x)=x^{p}-1 =(1+x+x^2+\cdots+x^{p-1})(x-1)$.

Desde $\omega$ es una raíz de la unidad, tenemos $f(\omega^k) = 0$$k=0,...,p-1$.

Desde $\omega$ es primitivo, $\omega^0,...,\omega^{p-1}$ son distintos y por lo $f(x) = (x-1)\cdots (x-\omega^{p-1}) $.

Por lo tanto $1+x+x^2+\cdots+x^{p-1} = (x-\omega^1)\cdots (x-\omega^{p-1}) $.

Answer 2

Sugerencia: ¿qué $x^n-1$ aspecto factorizada?

Answer 3

Deje $f(x)=x^p-1$$g(x)=f(1-x)$. A continuación, $g(1-\omega^k)=f(\omega^k)=0$ todos los $k$.

$(1-\omega)(1-\omega^2)\cdots (1-\omega^{p-1})$ es, pues, el producto de todas las raíces de $g$ con la excepción de $0$. Así, expandir $g$, factor de $x$, y mirar el término independiente.