Entero positivo soluciones de $\frac{1}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\frac{3}{a_3}+\cdots+\frac{n}{a_n}=\frac{a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n}{2}$

Question

Encuentra todas las tuplas ordenadas de números enteros positivos $(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n)$ tal que $\frac{1}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\frac{3}{a_3}+\cdots+\frac{n}{a_n}=\frac{a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n}{2}$

Lo único que he podido pensar es en el uso de las desigualdades. Me han tratado de aplicar AM-GM, Titu del lema etc.. de Cauchy-Schwarz da lo siguiente:

$$(\frac{1}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\frac{3}{a_3}+\cdots+\frac{n}{a_n})(a_1+\cdots a_n) \ge \sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots \sqrt{n}$$

$$(a_1+\cdots a_n)^2\ge 2(\sqrt{1}+\cdots \sqrt {n})$$

que en realidad no nos ayudan en absoluto.

También he tratado de considerar los casos más pequeños. Para $n=2$,

$$a_1a_2(a_1+a_2)=4a_1+2a_2$$ which tells us that $2a_2=ka_1$ and $8a_1=pa_2=ka_1p\implica kp=8$. Esto debe ahora nos da todas las soluciones mediante la comprobación de todos los casos.

Entonces, ¿cómo podemos siquiera comenzar a atacar este problema?

Answer 1

Solución parcial: Si $n+1$ es un cuadrado, a continuación, establezca $a_1=a_2=\cdots=a_n=\sqrt{n+1}$.

A continuación, el lado izquierdo es $$(1+2+\cdots+n)\frac{1}{\sqrt{n+1}}=\frac{n(n+1)}{2\sqrt{n+1}}=\frac{1}{2}n\sqrt{n+1}$$

lo cual está de acuerdo con la RHS.

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Más de una solución parcial, seguir a @Stefan4024 de iniciación de la idea. Empezar con una solución de la anterior forma, a continuación, agregue dos más términos en el lado izquierdo, es decir,$\frac{n+1}{b}+\frac{n+2}{b}$. La ecuación todavía equilibrio si $$\frac{1}{b}(n+1+n+2)=\frac{b+b}{2}$$ o $b^2=2n+3$. Por lo tanto, buscamos $n$ satisfactorio (1) $n+1=a^2$; y (2) $2n+3=b^2$. Podemos eliminar la $n$ para obtener la ecuación de Pell: $$b^2-2a^2=1$$ Esto tiene una infinidad de soluciones. El más pequeño es $b=3, a=2$ ($n=3$, 5 términos). El siguiente más pequeño es $b=17, a=12$ ($n=143$, 145 términos). El siguiente es $b=99, a=70$ ($n=4899$, 4901 términos).