Una pregunta con respecto a Czarnowski gato de la función

Question

El Czarnowski gato función de $c(x, n) = \sin^n(x) + \cos(x)$ da el llamado Czarnowski gatos. Hay infinitamente muchos de estos gatos, y cuenta la leyenda que Czarnowski creado un ingenioso matemática esquema de nomenclatura para darles todos los nombres únicos.

El problema: para Czarnowski principal del gato (nombre Mruk, el uno centrado en el origen) encontrar el área entre los gatos correspondiente a$n = 18$$n = 26$.

Algunos antecedentes. En 1896, polaco matemático Żurzysław Czarnowski (nacido en 1875), se descubrió que el gato de la función, mientras que los garabatos en sus notas durante una particularmente aburrido hablar de su profesor, matemático Belga Por Hansel. Se rumorea que un día Czarnowski presentó el gato función a Hansel, que estudió cuenta de que por muy grande $n$ los gatos se convierten en demonios. Se rumorea que Hansel estaba tan aterrorizada y consternado por este descubrimiento, que se suicidó. Esto llevó a Czarnowski para encontrar un óptimo gato, es decir, un valor de $n$ para que los gatos son "la mayoría de gato y menos diablo". Se rumorea que esta $n$ se encuentra en algún lugar entre el 18 y el 26, y que si se puede encontrar el área entre las curvas correspondientes a "gato de 18" y "gato 26" vamos a tener la mitad de la solución.

Answer 1

Buscamos una fórmula de reducción de integrands de la forma $$\sin^{2n} x.$$ Integration by parts with the choice $$u = \sin^{2n-1} x, \quad du = (2n-1) \sin^{2n-2} x \cos x \, dx, \\ dv = \sin x \, dx, \quad v = -\cos x, $$ da $$\begin{align*} I_n (x) &= \int \sin^{2n} x \, dx = -\sin^{2n-1} x \cos x + (2n-1) \int \sin^{2n-2} x \cos^2 x \, dx \\ &= -\sin^{2n-1} x \cos x + (2n-1) \int \sin^{2n-2} (1 - \sin^2 x) \, dx \\ &= -\sin^{2n-1} x \cos x + (2n-1) I_{n-1}(x) - (2n-1)I_n(x). \end{align*}$$ En consecuencia, $$I_n(x) = \frac{1}{2n} \left( -\sin^{2n-1} x \cos x + (2n-1) I_{n-1}(x) \right).$$ On the interval $[0,\pi]$, we then have $$I_n = \int_{x=0}^\pi I_n(x) \, dx = \frac{2n-1}{2n} I_{n-1}.$$ And for $n = 0$, we trivially have $$I_0(x) = 1, \quad I_0 = \pi.$$ It follows that $$I_n = \pi \prod_{k=1}^n \frac{2k-1}{2k} = \pi \prod_{k=1}^n \frac{(2k-1)(2k)}{(2k)^2} = \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2} \pi = \binom{2n}{n}\frac{\pi}{4^n}.$$ Therefore, since $c(x,n+2) \le c(x,n)$, $$\begin{align*} \int_{x=-\pi}^\pi c(x,18) - c(x,26) \, dx &= 2 \int_{x=0}^\pi \sin^{18} x - \sin^{26} x \, dx \\ &= 2(I_{9} - I_{13}) \\ &= 2\pi \left(\binom{18}{9}\frac{1}{4^{9}} - \binom{26}{13} \frac{1}{4^{13}}\right) \\ &= \frac{\pi}{2^{25}}\left(\binom{18}{9} 4^4 - \binom{26}{13}\right) \\ &= \frac{255765 \pi }{4194304}. \end{align*}$$