Demostrar que existe una función $w > 0$ tal que $\int_{0}^{1}w(x) dx \neq 0$ y $\frac{\int_{0}^{1}w(x)x^{2}dx}{\int_{0}^{1}w(x)dx} = \frac{1}{2}$ ?

Question

Puedo ver que $w(x) := x$ en $]0, \infty[$ es suficiente, pero busco un análisis sistemático para ver esto, que soy incapaz de hacer.

Answer 1

Para una clase amplia de función, dejemos que

$w(x)=\sum_{k=0}^\infty w_kx^k$

para que

$\int_0^1 w(x)\,x^m=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k+m+1}w_k.$

Multiplicando por la integral del denominador de su ecuación de condición, $\frac{1}{2}\frac{1}{k+1}$ aparece en el lado izquierdo. Así que tienes que resolver

$\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{k+m+1}-\frac{1}{k+(k+1)+1}\right)w_k=0$

para $w_k$ 's.

El término con $k=m-1$ es cero de forma gratuita, por lo que $w_{m-1}$ es sin condición. Para su caso de $m=2$ , puede establecer todos los demás $w_k\neq w_1$ cero y encontrar su solución de $w(x)=w_1x$ .

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Respuesta al comentario:

He aquí otro ejemplo de solución obtenida mediante la formulación anterior. Basta con establecer

$w_k=\dfrac{(-1)^k}{\frac{1}{k+m+1}-\frac{1}{k+(k+1)+1}}$

y sumar un número par de términos. (Asegurar la positividad será más trabajo).

Por ejemplo, la solución para

$0+0+0+1-1+1-1=0$

obtenido de esta manera es $w(x)=-378 x^6+360 x^5-350 x^4+360 x^3$ .

(He multiplicado por $-15$ para que todos los coeficientes sean enteros).

Answer 2

Prueba con $w(x)=x^2+a$ . Un parámetro ajustable es suficiente.

$$\int_0^1(x^2+a)x^2\,dx=\frac15+\frac a3,$$ $$\int_0^1(x^2+a)\,dx=\frac13+a$$

entonces $$\frac15+\frac a3=\frac16+\frac a2.$$

Solución: $$w(x)=x^2+\frac15.$$

Answer 3

Esto es una especie de problema de álgebra lineal.

Consideremos el espacio vectorial de las funciones cuadradas-integrables sobre $[0,1]$ con el producto interior $\left<f,g\right> = \int_0^1 f(x)g(x)\,\mathrm dx$ . Básicamente se busca una función $w$ tal que $$\frac {\left<w,a\right>}{\left<w,b\right>} = \frac 1 2$$ donde $a(x)=x^2$ y $b(x)=1$ . Tenga en cuenta que $$\left<a,a\right> = \int_0^1x^4\,\mathrm dx=\frac 15\\\left<a,b\right> = \int_0^1 x^2\,\mathrm dx=\frac 1 3\\\left<b,b\right> = \int_0^11\,\mathrm dx =1$$

Supongamos que podemos satisfacer esto con una combinación lineal de $a$ y $b$ Es decir, $w = \alpha a + \beta b$ . Entonces obtenemos $$\left<w,a\right> = \alpha\left<a,a\right> + \beta\left<a,b\right> = \frac 15 \alpha + \frac 1 3 \beta\\\left<w,b\right> = \alpha\left<a,b\right> + \beta\left<b,b\right> = \frac 1 3 \alpha + \beta$$

Bien, así que quieres $$\frac{\frac 1 5\alpha + \frac 1 3 \beta}{\frac 1 3 \alpha + \beta} = \frac 1 2$$ es decir $$\alpha = 5\beta$$ y eso es todo. Elige, por ejemplo, $\alpha = 1, \beta = 5$ . Por supuesto, se pueden elegir otras funciones.

Answer 4

Podemos utilizar $w(x)=\alpha x^{\alpha-1}$ para $\alpha\gt0$ . Entonces $$ \int_0^1w(x)\,\mathrm{d}x=1 $$ y $$ \int_0^1w(x)\,x^2\,\mathrm{d}x=\frac{\alpha}{\alpha+2} $$ Ajustando $\alpha\gt0$ podemos obtener $$ \frac{\int_0^1w(x)\,x^2\,\mathrm{d}x}{\int_0^1w(x)\,\mathrm{d}x}=\frac{\alpha}{\alpha+2} $$ ser cualquier cosa en $(0,1)$ .

Answer 5

No es una respuesta rigurosa (sin dedicarle trabajo extra, al menos), pero es una buena forma de convencerse de que debe existir esa función. En mi opinión, este argumento (cuando se formaliza adecuadamente) es en realidad más satisfactoria que un simple ejemplo de dicha función:

• Por un lado ( $w(x)=1$ ) tenemos ${\int_0^1x^2dx\over \int_0^1 1dx}={1\over 3}<{1\over 2}.$

• Por otra parte ( $w(x)=x^{100}$ ) tenemos ${\int_0^1x^{102}dx\over\int_0^1x^{100}dx}={{1\over 103}\over {1\over 101}}>{1\over 2}$ . (¿Cómo supimos elegir algo así para $w$ ? Bueno, en primer lugar los polinomios son fáciles de integrar; en segundo lugar, los polinomios con exponente alto están "muy lejos" de las funciones constantes, y ya hicimos una función constante. Este mismo razonamiento podría habernos llevado a intentar $w(x)=e^x$ pero $x^2e^x$ es molesto de integrar).

• Así que ahora aplicamos una especie de teorema del valor intermedio: si imaginamos que se deforma continuamente la función $x\mapsto 1$ en la función $x\mapsto x^{100}$ En algún momento deberíamos obtener un $w$ que satisface la fórmula deseada.

Por supuesto, toda la carne se esconde en este último paso - ¿cómo sabemos que la función $w\mapsto {\int_0^1x^2w(x)dx\over \int_0^1 w(x)dx}$ es continua en el espacio de funciones correspondiente? y ¿cómo sabemos que ese espacio está conectado? - así que esto no es una prueba en absoluto. Pero es un buen argumento de plausibilidad.

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OKAY FINE técnicamente estos no satisfacen realmente la demanda " $w(x)>0$ "ya que en todos los ejemplos anteriores, $w(0)=0$ pero esto se soluciona fácilmente.