¿Por qué es $dy dx = r dr d \theta$

Question

Posible duplicado:
Explique $\iint \mathrm dx\mathrm dy = \iint r \mathrm d\alpha\mathrm dr$

Estoy leyendo la prueba de integración gaussiana. Cuando cambiamos a coordenadas polares, ¿por qué tenemos una r "extra" ahí?

\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2+y^2)}\ dx dy &= \int_0^{2\pi} \int_0^{\infty} e^{-r^2}r\ dr\ d\theta\\ \end{align}

He mirado unas cuantas pruebas diferentes:

• http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/analysis/probint.pdf

  "La diferencial dx dy representa un elemento de área en coordenadas cartesianas coordenadas cartesianas, con el dominio de integración que se extiende sobre el plano xy. Una representación alternativa de la última integral puede expresarse en coordenadas polares planas r, $\theta$ "

• http://www.umich.edu/~chem461/Gaussian%20Integrals.pdf

pero ninguno explica este paso con la suficiente profundidad como para que yo vea realmente por qué ha sucedido esto.

Answer 1

El cambio de coordenadas en las integrales múltiples requiere añadir el jacobiano como factor. El jacobiano en este caso es $r (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = r$ .

Answer 2

Cuando se hace el cambio de variables $x=r\cos \theta,y=r\sin \theta$ la integral se convierte en

$$ \int_D f(x,y)dxdy=\int_{D'} f(r\cos \theta,r\sin\theta) J(r,\theta) drd\theta \ \ (F)$$

donde $D'$ es el dominio modificado, donde $r,\theta$ pertenecen, y $\displaystyle J(r,\theta)=\left| \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial r}& \frac{\partial x}{\partial \theta}\\ \frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \theta}\end{matrix}\right| $ es la matriz jacobiana.

La fórmula $(F)$ sigue siendo cierto incluso cuando se hace un cambio diferente de las variables para $x,y$ . Esta es la teoría detrás de $dxdy=rdrd\theta$ .

Para una prueba de $(F)$ hay que utilizar conjuntos medibles de Jordan (creo ) y la definición de la integral doble. Por supuesto, esto funciona en dimensiones más altas, con cálculos más intrincados.

Puedes echar un vistazo en el artículo de la wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Multiple_integral