La mensurabilidad de conjunto de los puntos donde se pueden medir en la secuencia de función es estrictamente creciente pointwise

Question

Deje $\{f_n\}$ ser una secuencia de funciones medibles de $\mathbb{R}$ a sí mismo. ¿Cómo podemos mostrar que el conjunto de

$S=\{x\in\mathbb{R} \,\, |\,\, \{f_n(x)\} \,\text{is strictly increasing}\}$ es un conjunto medible?

Creo que tenemos que escribir el conjunto de la unión y la intersección de la inversa de imágenes de $f_n$'s, pero no tengo idea de cómo proceder. Por favor deja algunos consejos!

Answer 1

Sí, $S$ es medible.

Definir $A_n=\{x| f_{n+1}(x) -f_n(x)>0)\}$. A continuación,$S=\bigcap_{n\geq 1} A_{n}$.

Answer 2

$$S=\bigcap_{n\in\mathbb N}\{f_{n+1}>f_n\}$$

Si el $f_n$ son medibles, entonces los conjuntos de $\{f_{n+1}>f_n\}$ son medibles.