¿qué significa "resolver la ecuación de x"?

Question

No soy experto para las matemáticas, y familiarizado con esto. Pero cuando aprendo las matemáticas en la escuela secundaria, tengo el tipo de las cosas de la ecuación de abajo de profesor o libros.

Resuelve la ecuación para $x$ : $$(x^2 + 6x -7)(2x^2 - 5x-3) = 0$$

Después de $10$ años, ahora estoy mirando el libro de matemáticas de nuevo. Especialmente, tengo una pregunta que no sé.

1. ¿Por qué? ¿Tenemos que resolver esa ecuación que tiene igual a 'cero' y qué significa que alguna ecuación es igual a cero? ¿por qué ponemos el cero a la ecuación para resolver ese tipo de ecuaciones?

Answer 1

" Resolver la ecuación .... para $x$ " significa simplemente que se averigua para qué valor(es) de $x$ la ecuación se cumple. Así, por ejemplo, si digo:

"Resuelve la ecuación $2x=6$ para $x$ ", entonces deberías decir: "Ah, sí, esa ecuación es válida para $x=3$ ". ¿Por qué?

Porque si rellenas $x=3$ en efecto, se obtiene $2x = 2\cdot3 = 6$ .

La ecuación sería no mantener para $x=4$ ya que para $x=4$ obtenemos $2x = 2\cdot4 = 8 \not = 6$

(de hecho, se puede demostrar que $x=3$ es el único valor para $x$ que haría $2x=6$ verdadero)

Además, observe que una ecuación puede mantenerse para múltiples valores de $x$ . Por ejemplo, tome $x^2 = 1$ . Esta ecuación es válida para $x = 1$ sino también para $x = -1$ . Pero es falso para cualquier otro valor de $x$ .

Por último, observe que no es necesario que haya ningún $0$ de este tipo de problemas: no había $0$ en los dos ejemplos que acabo de dar.

Sin embargo, a menudo como para poner las cosas en igualdad de condiciones $0$ porque si tienes algo como lo que tienes:

$$(x^2 + 6x -7)(2x^2 - 5x-3) = 0$$

entonces podemos "dividir y conquistar", ya que esta ecuación se mantendrá si cualquiera de los dos

$$(x^2 + 6x -7) = 0$$ o

$$(2x^2 - 5x-3) = 0$$

y ahora sólo tengo que "resolver" esas dos ecuaciones más simples. En otras palabras, poniendo un lado de la ecuación en $0$ suele simplificar las cosas. Así, por ejemplo, podría haber tomado $2x=6$ y lo cambié por $2x-6=0$ . Y $x^2=1$ puede convertirse en $x^2-1=0$

Answer 2

Lo haré con un ejemplo más sencillo para facilitar la ilustración y la concentración en la cuestión principal. Entonces, ¿qué significa resolver $x+3=5$ para $x$ ? Significa encontrar algo que más $3$ es igual a $5$ . Como las ecuaciones pueden ser complicadas, los matemáticos desarrollaron símbolos para disminuir la carga. Consideremos en cambio el problema de encontrar dos números del tipo que el primero más $2$ es igual a $4$ y que el segundo más $1$ es igual a $8$ . Vaya, es muy engorroso en esa forma, ¿verdad? Veamos cómo los símbolos simplifican las palabras: encuentra algunos $x,y$ tal que $x+2 = 4$ y $y + 1 = 8$ o, en un lenguaje más habitual: resolver las ecuaciones $x+2=4$ y $y+1=8$ para $x,y$ . Ya has visto que el lenguaje simbólico no debe ser para nada confuso, siempre que se sepa traducir correctamente.

Así que resolver una ecuación es más o menos como resolver un puzzle. Por ejemplo, considere el rompecabezas: encuentre una persona tal que exija a los demás un nivel moral más alto que el suyo (por cierto, cada ser humano es una "solución" a este rompecabezas). Si quieres, puedes reformular este rompecabezas como algo así: encuentra a alguna persona $x$ tal que $x$ requiere que los demás tengan un nivel moral más alto que $x$ o como: resolver " $x$ requiere que los demás tengan un nivel moral más alto que $x$ " para $x$ . (En rigor, aquí queremos especificar más el rango de $x$ Queremos resolver la necesidad de $x$ para $x$ ser una persona).

Answer 3

Si la ecuación es sólo en términos de $x$ y ninguna otra variable (como la suya), normalmente significa encontrar cada valor de $x$ que, cuando se pone en esa ecuación, es verdadera. Así que, para el tuyo, eso significa encontrar todos los valores de $x$ de tal manera que cuando lo pongo en el lado izquierdo $$(x^2 + 6x -7)(2x^2 - 5x-3)$$ Me sale el lado derecho ( $0$ en este caso). Si hay otras variables, como $y=2x+4$ . significa cambiarlo a la forma $$x=\text{anything except $ x $}$$ (aunque no siempre se puede hacer). Esto es útil para trazar cosas porque digamos que tenemos $x=y^2+y+1$ y queremos probar algunos puntos para ver cómo se ve, podemos simplemente conectar un $y$ y obtener inmediatamente un $x$ valor.

Ahora, para que su ecuación sea verdadera, necesitamos $x^2+6x-7=0$ o $2x^2-5x-3=0$ (porque todo lo que se multiplica por cero se obtiene $0$ en el lado derecho. Entonces, encuentre todos los $x$ que hacen cualquiera de esas dos cosas. Para $x^2+6x-7$ podemos factorizarlo en $(x+7)(x-1)=0$ . Por lo tanto, parece que $x=-7$ o $x=1$ haría que fuera cero y, por tanto, haría que se cumpliera nuestra ecuación original. Lo mismo ocurre con $2x^2-5x-3=(2x+1)(x-3)\implies 2x+1=0$ o $x-3=0$ . La primera ecuación que podemos "resolver para $x$ " para ver que $x=-\frac{1}{2}$ funciona y para el segundo, vemos que $x=3$ funciona.

Por lo tanto, cualquiera de $x=-\frac{1}{2},x=3,x=-7$ o $x=1$ para satisfacer esta ecuación y hemos "resuelto para $x$ ".

Answer 4

Hasta ahora hay algunas buenas respuestas, pero ninguna de ellas responde realmente a la parte de la pregunta "¿Por qué? ¿Por qué los matemáticos toman funciones (especialmente funciones cuadráticas), las ponen a cero y resuelven para $x$ ? Porque los valores de $x$ que hacen que la función $0$ se denominan raíces (o ceros ) de la función. Las raíces son los valores que se corresponden exactamente con el lugar en el que la función cruza el $x$ -eje.

¿Por qué es importante? Sin tener que graficar la función (lo cual es más fácil hoy en día que antes de Internet y las calculadoras gráficas de mano), puedes determinar parte del comportamiento de la función encontrando sus raíces. Un matemático experto podría encontrar las raíces de tu ecuación de ejemplo en su cabeza, y así, con poco esfuerzo, puede averiguar mucho sobre la función.

Un ejemplo del mundo real. Supongamos que usted es un físico que calcula dónde caerá su proyectil. Tienes una función cuadrática que modela el vuelo del proyectil. ¿Cuándo aterriza el proyectil? Cuando la función es cero. Así que estableces la función igual a $0$ y resolver para $x$ .