Asintótica: justificación del abuso del método de Laplace

Question

Método de Laplace permite obtener una aproximación asimétrica, para $N\to \infty$ de integrales de la forma

$$ \int e ^{N f(x)}dx $$

Me declaro culpable de abusar varias veces (ej: muestra 1 y muestra 2 ) del método, utilizando una función en el exponente que en realidad depende también de $N$ , digamos que $f(x,N)$ .

Eso es obviamente ilegal, y, en general, producirá un sinsentido. Pero en los ejemplos anteriores me ha funcionado bien.

Supongo que debe haber alguna justificación, o alguna receta conocida para extender el método de Laplace para estos escenarios - quizás imponiendo alguna restricción en $f(x,N)$ - probablemente que varía "lentamente" (o "asintóticamente casi constante") con $N$ .

¿Puede alguien idear tal extensión, o proporcionar alguna referencia?

Answer 1

El poder del método de Laplace es que realmente es mucho más que un simple teorema, y las afirmaciones de la página wiki son especializaciones del método general.

En su libro Métodos asintóticos en el análisis N. G. de Bruijn elabora con todo detalle varios ejemplos que no son los habituales $\int f e^{Ng}$ forma. Véase, en particular, el capítulo 6.

Del prefacio del libro:

El lector no encontrará nada parecido a una teoría general en este libro. Muchos métodos asintóticos son muy flexibles, y en estos casos no es posible formular un único teorema que cubra todas las aplicaciones. Cualquier intento de generalización supondría en realidad una restricción.

He elaborado ejemplos (relativamente suaves) en Math.SE aquí y aquí también.