Universal de la propiedad de un módulo, "conversar"

Question

Deje $F$ libre $R$-módulo con una base $B$. Sabemos que $B$ satisface la siguiente propiedad:

Para cualquier $R$-módulo de $M$ y cualquier $g:B\rightarrow M$, no existe un único $R$-mapa de $\varphi:F\rightarrow M$ que se extiende $g$.

Ahora supongamos que $F$ cualquier $R$-módulo de e $B$ es cualquier subconjunto de a $F$. Si $B$ satisface la anterior propiedad, es $B$ base $F$?

Creo que esto es cierto para espacios vectoriales. Si $B$ no abarcan $F$, entonces no existe una única extensión de $g$, y si $B$ es linealmente dependiente, a continuación, que la extensión no existe en absoluto. Pero estoy teniendo problemas para ampliar mi razonamiento de los módulos, debido a la falta de división y de la presencia de la torsión de los elementos.

Answer 1

Juan S comentario es correcto. Para cualquier conjunto a $B$ me deja denotar por $F(B)$ el módulo en ese conjunto. En este caso hay un canónica mapa de $f : F(B) \to F$, y su hipótesis decir que la inducida por los mapas

$$f^{\ast} : \text{Hom}_{R\text{-Mod}}(F, M) \to \text{Hom}_{R\text{-Mod}}(F(B), M) \cong \text{Hom}_{\text{Set}}(B, M)$$

son bijections para cada $M$. Por el Yoneda lema, $f$ debe ser un isomorfismo. Explícitamente, tome $M = F(B)$ en el anterior; a continuación, $(f^{\ast})^{-1}(\text{id}_{F(B)})$ es una inversa de a $f$.

Answer 2

Estoy bastante seguro de que también funciona sin Yoneda lema:

Sólo considere el $F/N$ donde $N = (B)$, el R-módulo generado por B y un mapa $\psi: B \rightarrow F/N $. $\psi$ envía todos los $ x \in B$$0$, por lo que es el cero mapa.

Ahora extendemos $\psi$ en dos formas:

• set $\phi_{1}: F \rightarrow F/N$ mediante la asignación de todo a $0$. Esto se extiende $\psi$
• deje $\phi_{2}: F \rightarrow F/N$ ser la canónica epimorphism. Esto también se extiende $\psi$

Por encima de la propiedad, la extensión tiene que ser única, por lo $\phi_{1} = \phi_{2}$. Desde el canónica epimorphism es el cero, se tiene: $F = N$. Para R-lineal de la independencia vamos a $$\sum_{\text{finite}} r_{i}x_{i} = 0\;,\qquad r_{i}\in R, \:\, x_{i} \in B$$ Ahora vamos a $r_{j}$ ser uno de los coeficientes y definir el mapa

$$\gamma_{j}:B\rightarrow R:x\mapsto\left\{\begin{array}{ll} 1, & x = x_{j} \\ 0, & x\neq x_{j}\end{array}\right.$$

A continuación, de nuevo por encima de la propiedad, esto se extiende a: $F_{j}:F\rightarrow R$. Y por último, se tiene $$0 = F_{j}(0) = F_{j}\left(\sum_{\text{finite}} r_{i}x_{i}\right) = \sum_{\text{finite}}r_{i}F_{j}(x_{i}) = r_{j}$$

Por lo tanto, B es una base de F.