Asunción que $\delta q'$ es pequeño en la derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Question

Nunca he entendido completamente la justificación de este paso en la derivación de la E-L ecuación:

$\delta L = L(q + \delta q, q' + \delta q', x) - L(q, q', x) = \partial_q L \delta q + \partial_{q'} L \delta q'$

Esto sólo es válido cuando ambos $\delta q$ $\delta q'$ son pequeñas. Ahora $\delta q$ es pequeña, por supuesto, pero $\delta q'$ está totalmente determinado por $\delta q$, por lo que la pequeñez de $\delta q'$ debe ser implementada por la pequeñez de $\delta q$. Sin embargo, si $\delta q$ tiene componentes de frecuencia alta (eq $\delta q = \epsilon sin(x/\epsilon)$ para un pequeño $\epsilon$), a continuación, $\delta q'$ no va a ser pequeño aunque $\delta q$ es. Me imagino que esto puede ser fijado por tener más assumtions en $\delta q$, al igual que es de la forma $\epsilon f$ donde $\epsilon$ es pequeña y $f$ es sólo una adecuada buena función, pero las explicaciones que he visto no hacer tales supuestos explícitos.

Además nunca he visto una buena explicación de las propiedades de $\delta$ operador. En la habitual E-L derivación también parece haber asumido que $\delta (q') = (\delta q)'$. Puedo convencer a mí mismo de que de manera informal, pero es algo que parece que vale la pena explicar. Hay una buena referencia que va en el $\delta$ operador en profundidad de algunos.

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Cuando me preguntó por primera vez mi pregunta que me estaba olvidando de Lanczos Principios Variacionales de la Mecánica que va en el $\delta$ notación en algunos de longitud. Ahora que he vuelto a la de Lanczos, sé un poco más, pero aún está lejos de ser clara, a pesar de Lanczos heroicos esfuerzos.

Las respuestas parecen estar de acuerdo en la idea de que $\delta$ no es una entidad independiente, pero más de una convención de nomenclatura, fabricación de $\delta L$ $\delta q$ atómico de nombres. Esto tiene algún sentido para mí, pero esto contradice Lanczos en Principios Variacionales de la Mecánica, donde se utiliza el término $\delta$-proceso. Incluso, él escribe cosas como $\delta^2 F$$\delta \int F$, e incluso tiene el equivalente de $\delta (q') = (\delta q)'$ por encima como ecuación 29.3, junto con una derivación. Lanczos destaca la noción de virtual desplazamiento . En un momento se dice que el $\delta u$ es un virtual cambio, mientras que la $du$ es un cambio real. Lamentablemente no tengo idea de lo que está explicando, pero el virtual desplazamiento parece ser el concepto que me falta. He encontrado http://en.wikipedia.org/wiki/Virtual_displacementpero yo no soy muy de análisis que sea. Sin embargo, el resumen de Subhankar Ray, J. Shamanna, Virtual Desplazamiento en la Dinámica Lagrangiana suena prometedor:

... Sin embargo, la definición de de desplazamiento virtual es rara vez precisa y, a menudo, parece vago y ambiguo para los estudiantes. En este artículo es un intento más sistemático y preciso de la definición, que no sólo da una idea cualitativa de virtual el desplazamiento, sino que también permite a uno cuantitativamente expresar la misma para cualquier restringido del sistema. ...

Suena como lo que recetó el doctor.

Answer 1

Sugerencia: el supuesto básico es que el Lagrangiano $L(q(x),q'(x),x)$ es diferenciable en a $y:=(q(x),q'(x),x)$ y la variación $\delta L$ expresa la diferenciabilidad, en un límite.

En otras palabras, estamos considerando el incremento ( $h$ es sólo un vector en $\mathbb R^3$, para todos los $x$, pero los componentes $\delta q$ $\delta q'$ son funciones de $x$)

$$h:=(\delta q,\delta q',0)$$

y mirando

$$L(y+h)-L(y)=\langle \nabla L(y),h\rangle+O(\|h\|);~~(*)$$

el gradiente $\nabla L(y)$ $L$ $y$ es

$$\nabla L(y)=\left(\frac{\partial L}{\partial q},\frac{\partial L}{\partial q'},\frac{\partial L}{\partial x}\right) $$

y, por definición,

$$y+h=(q(x)+\delta q,q'(x)+\delta q',x).$$

• Comentario: las condiciones de contorno

En problemas variacionales, el vector $h$ no es completamente arbitraria: de hecho, si tenemos en cuenta las pequeñas variaciones _(es decir,$\delta q$) de la función de $q:x\mapsto q(x)$ tenemos que imponer las condiciones de contorno en los componentes de $h$: tales condiciones son dependiendo del problema variacional bajo examen. Están motivados por el enfoque variacional y generalmente de "matar" hostil límite de términos (al menos en los clásicos problemas variacionales: en la teoría del campo cuántico uno puede aceptar y, posteriormente, el trabajo con el límite de términos).

Por ejemplo, en presencia del problema variacional

$$S[q]:=\int_a^b L(q(x),q'(x),x)dx $$

estaríamos interesados en todas las pequeñas variaciones $\delta q$ $q=q(x)$ s.t. $\delta q(a)=\delta q(b)=0$.

Si ampliamos $(*)$ utilizando la definición de gradiente y el producto escalar, llegamos a

$$L(q(x)+\delta q,q'(x)+\delta q',x)-L(q(x),q'(x),x)=\frac{\partial L}{\partial q}\delta q+\frac{\partial L}{\partial q'}\delta q'+O(\|h\|). $$

• Observación: los parámetros de

  En algunos libros y papeles se acostumbra a definir las pequeñas variaciones $\delta q$

$$\delta q:=\epsilon\varphi, $$ $$\delta q':=\epsilon\varphi' $$

donde $\varphi$ es cualquier función de la satisfacción adecuada de las condiciones de contorno, y $\epsilon$ es un parámetro. En esta configuración, se está considerando el incremento de

$$h=(\epsilon\varphi,\epsilon\varphi',0)$$

alrededor de $y=(q(x),q'(x),x)$ y la primera variación $\delta L$ $L$ se define como

$$\delta L:=\frac{dL}{d\epsilon}|_{\epsilon=0}:=\lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac{L(q(x)+\epsilon\varphi,q'(x)+\epsilon\varphi',x)-L(p(x),q'(x),x)-\epsilon\left(\frac{\partial L}{\partial q}\varphi+\frac{\partial L}{\partial q'}\varphi'\right)+O(\epsilon^2)}{\epsilon}. $$

Personalmente considero que esta notación es bastante buena.