¿Es el tensor de cadena complejo conmutativa?

Question

<blockquote> <p>Que $B_*$ $C_*$ ser complejos de cadena (digamos de $R$-módulos). ¿Entonces es isomorfo como una cadena compleja de $B_*\otimes_R C_*$ $C_*\otimes B_*$?</p> </blockquote> <p>Hay un montón de signos involucrados, y no estoy seguro si puede ser posible organizar que los complejos de dos cadena son isomorfos.</p>

Answer 1

Sí, son naturalmente isomorfos. Definir $f:B*\otimes C\to C_\otimes B_*$ $f(b\otimes c)=(-1)^{|b||c|}c\otimes b$ cuando $b$ y $c$ son homogéneos. Podemos calcular el $$f(d(b\otimes c))=(-1)^{|db||c|}c\otimes db+(-1)^{|b|}(-1)^{|b||dc|}dc\otimes b=(-1)^{(|b|-1)|c|}c\otimes db+(-1)^{|b||c|}dc\otimes b$ $ y $$d(f(b\otimes c))=(-1)^{|b||c|}dc\otimes b+(-1)^{|b||c|}(-1)^{|c|}c\otimes db=(-1)^{|b||c|}dc\otimes b+(-1)^{(|b|+1)|c|}c\otimes db.$ $

Estos son iguales, desde $|b|+1$ y $|b|-1$ tienen la misma paridad, por lo que conmuta $f$ $d$.