Aproximación de funciones medibles acotadas con funciones continuas.

Question

Esta no es la tarea. Estaba leyendo un papel en donde los autores mostraron un resultado de todas las funciones continuas y, a continuación, sólo comenzó a escribir "la habitual limitación de Argumento da el resultado para todos los delimitadas las funciones" - por lo que me estoy preguntando lo que esta "costumbre limitar el argumento de que" podría ser. No sé si significan uniforme o pointwise convergencia. Como yo lo veo pointwise convergencia debería ser más que suficiente :D

Por lo tanto yo era pregunto si no es un teorema de tener o bien dirigiéndose a la siguiente declaración:

Deje $K\subset\mathbb{R}^2$ ser compacto. Cualquier acotado medible función de $f:K\to\mathbb{R} $ puede ser aproximada por una secuencia de funciones continuas $(g_m)$$K$.

Nate Eldredge sugirió que puedo publicar algunas extracto del original para dar más contexto para el problema. Aquí voy:

El objetivo es prueba de la existencia de una débil límite de una secuencia de apretado de medidas de probabilidad en $\mathcal{C}^0([0,1]^2,\mathbb{R})$ asociado con reflejando Browniano Mociones en el compacto el conjunto $[0,1]^2$ que es un Lipshitz de Dominio. Así que ya, sé que algunos débiles límite debe existir y sigue siendo para mostrar que dos límite de Puntos de acuerdo. Débil Convergencia se define en general a través de acotado medible funciones. Ahora vamos a $P'$ $P''$ dos subsequential límite de puntos. Los autores muestran que la $f \in \mathcal{C}^0([0,1]^2,\mathbb{R})$ el siguiente tiene (aquí se $X_s$ el proceso canónico)

$E'f(X_s)=E''f(X_s)$

Y ahora viene el verdadero origen de mi pregunta: "La habitual limitación de argumento da el resultado para delimitada $f$ y, por tanto, el unidimensional distribuciones de acuerdo." (la segunda parte entiendo el "estándar de limitar el argumento de la cosa" es algo confuso)

Cualquier Ayuda se agradece mucho y Gracias de Antemano :D

Answer 1

Para responder a su comentario sobre Byron respuesta:

El funcional de la monotonía de la clase teorema es un resultado muy útil y bien vale la pena conocer. Sin embargo, también se puede obtener este resultado con el argumento de que puede ser más familiar. En resumen, queremos mostrar:

Supongamos $\mu', \mu''$ son dos medidas de probabilidad en $\mathbb{R}$, y tenemos $\int f\,d\mu' = \int f\,d\mu''$ para todos los delimitada continua $f$. A continuación,$\mu' = \mu''$.

Uno podría proceder de la siguiente manera:

Ejercicio. Para cualquier intervalo abierto $(a,b)$, hay una secuencia de no negativo delimitada funciones continuas $f_n$ tal que $f_n \uparrow 1_{(a,b)}$ pointwise.

(Por ejemplo, algunos trapezoidal de las funciones de trabajo.)

Si $f_n$ es una secuencia, tenemos $\int f_n \,d\mu' = \int f_n \,d\mu''$ por cada $n$. Por la monotonía de la convergencia, la izquierda converge a $\int 1_{(a,b)}\,d\mu' = \mu'((a,b))$ y el lado derecho converge a $\mu''((a,b))$. Por lo $\mu'((a,b)) = \mu''((a,b))$, y esto vale para cualquier intervalo de $(a,b)$.

Ahora usted puede utilizar Dynkin del $\pi$-$\lambda$ lema, una vez que se muestran:

Ejercicio. La colección $$\mathcal{L} := \{B \in \mathcal{B}_\mathbb{R} : \mu'(B) = \mu''(B)\}$$ es una $\lambda$-sistema. (Aquí se $\mathcal{B}_{\mathbb{R}}$ es el Borel $\sigma$-álgebra en $\mathbb{R}$.)

Sólo nos mostró que el abrir los intervalos están contenidas en $\mathcal{L}$. Pero al abrir los intervalos son una $\pi$-sistema que genera $\mathcal{B}_{\mathbb{R}}$. Así que por Dynkin del lexema, $\mathcal{B}_\mathbb{R} \subset \mathcal{L}$, es decir $\mu' = \mu''$.

Answer 2

No es cierto que cada acotado medible función es la pointwise, o uniforme, límite de funciones continuas. Ver este MSE pregunta.

Depende de lo que el resultado de que el autor quería probar, pero la ampliación de los resultados de funciones continuas a acotado medible funciones a menudo se utiliza la Monotonía de la Clase Teorema.

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Añadido: Usted tiene dos medidas de probabilidad $\mu^\prime:=P^\prime\circ X_s^{-1}$ $\mu^{\prime\prime}:=P^{\prime\prime}\circ X_s^{-1}$ $[0,1]^2$ , de modo que, para cada función continua $f$, $$\int f\,d\mu^\prime=\int f\,d\mu^{\prime\prime}.\tag1$$

Deje $\cal H$ ser el espacio de todos los acotado, funciones medibles $f$, de modo que (1) se mantiene, y deje $\cal K$ ser el espacio de funciones continuas. Una vez que verifique las condiciones de la funcional de la Monotonía de la Clase Teorema, se puede concluir que $\cal H$ contiene todos los delimitadas las funciones medibles con respecto a $\sigma(\cal K)$. Es decir, $\cal H$ incluye todos los acotado, Borel medible funciones que significa que $\mu^\prime=\mu^{\prime\prime}$.

Answer 3

Lo más probable es que esto se refiera a la aproximación en la norma$L^p$ ($p\geq 1$),

PS

Es cierto que si$$\|f\|_p = \left(\int |f|^p d\mu \right)^{1/p}.$ se comporta suficientemente bien, entonces cada función$\mu$ de manera tal que$f$ es finito (es decir,$\|f\|_p$) puede ser aproximado en esta norma por funciones continuas. Una prueba se puede encontrar aquí http://planetmath.org/encyclopedia/C_cXIsDenseInLpX.html .