Mostrar que $e^{t(A+B)} = e^{tA}e^{tB}$ % todo $t \in \mathbb{R}$si y sólo si $AB = BA$.

Question

Dejó A, matrices reales o complejo B. Mostrar que $e^{t(A+B)} = e^{tA}e^{tB}$ % todo $t \in \mathbb{R}$si y sólo si $AB = BA$.

Demostré el recíproco:

$\Leftarrow )$ Las dos ecuaciones son las soluciones de $X' = (A+B)X$, $X(0)= I$, porque

$(e^{tA}e^{tB})' = Ae^{tA}e^{tB} + e^{tA}Be^{tB} = Ae^{tA}e^{tB} + Be^{tA}e^{tB} = (A+B)e^{tA}e^{tB}$ y

$(e^t(A+B))' = (A+B)e^{t(A+B)}$. Así, $e^{t(A+B)} = e^{tA}e^{tB}$.

Tengo problemas para demostrar la implicación.

Answer 1

Que $f(t) = e^{t(A+B)} - e^{tA} e^{tB}$. Entonces $$ \begin{align} f'(t) & = (A+B) e^{t(A+B)} - A e^{tA} e^{tB} - e^{tA} B e^{tB} \ f''(t) & = (A+B)^2 e^{t(A+B)} - A(A e^{tA} e^{tB} + e^{tA} B e^{tB}) - A e^{tA} B e^{tB} - e^{tA} B^2 e^{tB} \end{Alinee el} $$

Así que si $f(t) \equiv 0$, entonces el $f''(0) = 0 = (A+B)^2 - A^2 - AB - AB - B^2 = BA - AB$. Por lo tanto $AB = BA$.

Answer 2

Para la prueba he visto de la implicación inversa utiliza el Panadero-Campbell-Hausdorff fórmula. El Panadero-Campbell-Hausdorff fórmula dice que para $GL_{n}(\mathbb{C})$ o $Gl_{n}(\mathbb{R})$ (que en realidad se puede poner cualquier Mentira grupo de aquí): Para $X$ $Y$ lo suficientemente cerca de la $0$ matriz, tenemos $$\log(e^{X}e^{Y}) = X + Y + \frac{1}{2}[X, Y] + \text{terms involving multiple commutators}$$ donde el $\log$ es un local inversa de la función exponencial, en un barrio de la $0$ matriz.

Ahora, por la elección de $t$ lo suficientemente pequeño, se puede hacer $tA$ $tB$ mentira en la región donde el BCH fórmula es aplicable. Luego, mediante la aplicación de $\log$ a ambos lados de la ecuación $$e^{t(A + B)} = e^{tA}e^{tB}$$ obtenemos la expresión $$t(A + B) = t(A + B) + \frac{t^{2}}{2}[A, B] + O(t^{3}).$$ Ambos lados de esta expresión son reales funciones analíticas $\mathbb{R} \rightarrow M_{n\times n}(\mathbb{R})$ (resp. $M_{n\times n}(\mathbb{C})$ con un valor distinto de cero radio de convergencia. Por lo tanto la única forma de que ellos sean iguales es que su potencia de la serie son iguales coeficiente por un coeficiente.

La comparación de la $t^{2}$ coeficientes nos da $[A, B] = 0$ como se desee.