Serie de Leibniz para$\pi$ usando una integral del núcleo de Dirichlet

Question

Estoy tratando de crear una prueba de la Leibniz serie $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{\pi}{4}$ usando el Kernel de Dirichlet.

Lo que hice es empezar con el núcleo $$1+2 \left ( 1+\cos\theta + \cos 2\theta + \dots + \cos n\theta \right ) = \dfrac{\sin \left (n + \frac{1}{2} \right )x}{\sin x/2}$$ and then integrate both sides over the domain $x \in \left [0,\dfrac{\pi}{2} \right ]$.

Llegué a este resultado. $$\dfrac{\pi}{2}+2\left ( 1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} - ... + \dfrac{\sin n\pi/2}{n}\right ) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin \left (n + \frac{1}{2} \right )x}{\sin x/2} = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin(2x+1)}{\sin x}dx$$ Ahora, sabemos que $$\int \dfrac{\sin(2n+1)x}{\sin x}=I_{n-1}-\int 2 \cos (2nx)dx$$ así $$I_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\sin(2n+1)x}{\sin x}=I_{n-1}-\dfrac{1}{n} \sin \dfrac{n \pi}{2}$$ Esto es donde estoy seguro. Con el fin de demostrar el Leibniz de la serie, necesito de alguna forma demostrar que $$I_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin \left (n + \frac{1}{2} \right )x}{\sin x/2} = \pi$$ Sin embargo, al tomar el límite de $n \rightarrow \infty$ desde la derecha, parece que $I_n$ se aproxima $\dfrac{\pi}{4}$ como la reducción de la integral de la $I_n$ recursivamente los rendimientos $I_0 = \dfrac{\pi}{4}$ y todos los demás términos se desvanecen.

¿Qué está pasando aquí? No estoy muy seguro de por qué las cosas no funcionan.

Answer 1

Deje $D_n(x) = 1+2 \left ( \cos\theta + \cos 2\theta + \dots + \cos n\theta \right ) = \dfrac{\sin \left (n + \frac{1}{2} \right )x}{\sin x/2}$. Creo que no es útil para integrar $D_n$ de forma recursiva. Hacerlo, produce el mismo Leibniz serie $\sum \frac{1}{n} \sin \frac{n\pi }{2}$ sobre el derecho que usted tiene en la izquierda; así acabará demostrando que $0=0$.

Cómo sobre esto: $\int_0^{\pi} D_n(x) = \pi $ debido a que todos los cosenos integrar a$0$$[0,\pi]$. Y para cualquier fija $a\in (0,\pi)$ (en particular, para $a=\pi/2$) tenemos $$\int_a^\pi D_n(x) \to 0 \quad \text{as }n\to\infty \tag{1}$$ Para demostrar (1), se puede aplicar la de Riemann-Lebesgue lexema, o hacerlo desde cero: integrar por partes, convirtiendo $\sin(n+\frac12)x$ a $-(n+\frac12)^{-1}\cos(n+\frac12)x$, extraer el valioso factor de $(n+\frac12)^{-1}$, y estimar el integrando por una constante.

Conclusión: $\int_0^{\pi/2} D_n(x) \to \pi $$n\to\infty$. De hecho no es igual a $\pi$; de lo contrario, su integral de la identidad implicaría que $\pi$ es racional. :)