Encuentre la cantidad de números complejos$z$ tal que$z^{2018} =\overline{z}.$

Question

Encuentre la cantidad de números complejos$z$ tal que$$z^{2018} =\overline{z}.$ $

Tengo la idea básica de conectar$z$ como$a+bi$ pero parece que es un callejón sin salida. $(a+bi)^{2018} = a-bi$ no me lleva a ninguna parte. Estoy sorprendido de cómo empezar.

Answer 1

Si$z^{2018}=\overline z$,$$|z|^{2018}=\bigl|\overline z\bigr|=|z|$$and therefore $ | z | = 0$ or $ | z | = 1$. But $ | z | = 1 \ implica \ overline z = \ frac1z $. So, the solutions are $ 0$ and the complex numbers $ z$ such that $ z ^ {2019} = 1$. And the solutions of this last equation are the numbers of the form$$\exp\left(\frac{2k\pi i}{2019}\right)\text{, with }k\in\{0,1,\ldots,2018\}.$ $

Answer 2

Sugerencia:$z=0$ es una solución. Para encontrar el resto de las soluciones, puede suponer que$z\not=0$ y así poder multiplicar ambos lados por$z$, esto implica que

$z^{2019} = z\overline{z}=|z|^2$

Ahora, si$|z|=r$ entonces$|z^{2019}|=|z|^{2019}$ y entonces la ecuación implica que$|z|=1$ (porque$z\not=0$).

Por lo tanto, solo tienes que resolver la ecuación$z^{2019}=1$. Las soluciones son, por supuesto, todas las raíces de unidad% en el círculo.

Answer 3

Se podría decir que$$z = re^{i \theta}$ $ Así que la ecuación se convierte en$$r^n e^{in\theta} = re^{-i\theta}$ $ donde$n = 2018$. Esto significa que$r = 1$ y$$n\theta = -\theta + 2k\pi \qquad k \in \lbrace 0\ldots n \rbrace$ $ o$$(n+1)\theta = 2k\pi \qquad k \in \lbrace 0\ldots n \rbrace $ $ lo que significa que$$\theta = \frac{2k\pi}{n+1} \qquad k \in \lbrace 0\ldots n \rbrace$ $ lo que le da$$n-0+1 = n+1 = 2018+1 = 2019$ $ soluciones

Answer 4

Voy a tratar de esto en algunas generalidad, buscando soluciones a

$z^n = \bar z, \; 2 \le n \in \Bbb N; \tag 1$

Primero de todo, observar que $z = 0$ resuelve (1); así podemos refinar nuestra búsqueda a no desapareciendo $z$; entonces a partir de (1)

$\vert z \vert^n = \vert z^n \vert = \vert \bar z \vert = \vert z \vert; \tag 2$

o

$\vert z \vert^{n - 1} = 1 \Longrightarrow \vert z \vert = 1; \tag 2$

por lo tanto, podemos escribir

$z = e^{i\theta}, \; \theta \in [0, 2\pi); \tag 3$

entonces

$\bar z = e^{-i\theta} = z^{-1}, \tag 4$

de modo que (1) los rendimientos

$z^n = z^{-1}, \tag 5$

o

$z^{n + 1} = 1; \tag 6$

entonces

$(e^{i\theta})^{n + 1} = 1 \tag 7$

o

$e^{(n + 1)i \theta} = 1; \tag 8$

así se puede tomar

$(n + 1) \theta = 2\pi, \tag 9$

de dónde

$\theta = \dfrac{2\pi}{n + 1}; \tag{10}$

este es el más pequeño distinto de cero $\theta \in [0, 2\pi)$ (1) une; por supuesto, de hecho hemos

$(e^{2k\pi i/ (n + 1})^{n + 1} = e^{2k\pi i} = (e^{2\pi i})^k = 1^k = 1, \; 1 \le k \le n + 1, \tag{11}$

por lo que hay en el hecho de $n + 1$ soluciones con $\vert z \vert = 1$; y si a esto le añadimos la colección de la $0$ solución, vemos que no se $n + 2$ soluciones para: (1) en toto. Observamos además que desde $e^{2k\pi i / (n + 1)} = (e^{2\pi i / (n + 1)})^k$, cada no-fuga de solución es una parte integral de alimentación de $e^{2\pi i /(n + 1)}$.

Hemos restringido a nosotros mismos hasta el momento a $2 \le n \in \Bbb N$; al $n = 1$, (1) se convierte en

$z = \bar z, \tag{12}$

y cualquier $z \in \Bbb R$ es una solución, por lo que son incontables en número en este caso.

Al $n = 2018$, para el año 2020 soluciones:

$z = 0, z = e^{2k \pi / (n + 1)}, \; 1 \le k \le 2019. \tag{13}$