Señal de impulso en propagador de Fermio

Question

Pensando en un proceso como Compton de dispersión, donde tenemos un electrón como un propagador, que normalmente escribiría abajo el propagador $$i \frac{\not q+m}{q^2-m^2}.$ $ si tuviera que reemplazar el electrón con un positrón, hace el propagador se convierten en: $$i\frac{-\not q+m}{q^2-m^2}~?$ $

De una pregunta tonta, pero soy dificultades reducir la respuesta con las convenciones de distinto signo por ahí.

Answer 1

Para referencia, el fermión propagador es

$$ \left\langle 0 \right| T\psi(x)\overline\psi(y) \left|0\right \rangle= S(x-y) = \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{i}{\not k-m}e^{-ik\cdot(x-y)}$$

Dependiendo de la hora de ordenar, esta describe una partícula en movimiento de$y$$x$, o una antipartícula movimiento de$x$$y$.

---

Ahora, considere la posibilidad de un bucle de diagrama en el que un externo de fotones se desintegra en una partícula y una antipartícula en el punto de $y$, que posteriormente aniquilar a producir un fotón en $x$. Dejar que el impulso que aparecen en los propagadores ser $p$ para el fotón, $l$ de la partícula, y $k$ para la antipartícula.

Este diagrama tiene una integral sobre las posiciones de los vértices $x,y$; la partícula del propagador $S(x-y)$, y la antipartícula del propagador $S(y-x)$; y un exponente $e^{-ip\cdot(y-x)}$ que proviene de la función de onda del fotón. Ignorando vértice factores y vectores de polarización, este diagrama es

$$ \int d^4x \int d^4y \int \frac{d^4l}{(2\pi)^4} \frac{i}{\not l-m}e^{-il\cdot(x-y)}\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{i}{\not k-m}e^{-ik\cdot(y-x)}e^{-ip\cdot(y-x)} $$

La realización de la posición de las integrales nos da dos idénticas funciones delta de $ \delta^4(l-k-p)$, lo que nos dicen para establecer $k=l-p$ en el cálculo y la caída de las $k$ integral, dejando

$$ \int \frac{d^4l}{(2\pi)^4} \frac{i}{\not l-m}\frac{i}{(\not l-\not p)-m} $$

---

De hecho, donde hay un vértice, las líneas que van en el punto de $x$ contribuir a $e^{-ip_1\cdot x -...}$, y las líneas que van de salida contribuir a $e^{+ik_1\cdot x+...}$, lo que nos da una función delta $\delta^4(p_1+...-k_1...)$.

Entra partículas tienen líneas de ese punto en el vértice, y saliente partículas tienen líneas que señalan de los vértices, de modo que si una partícula $p_1$ se dispersa fuera de un fotón que entra $p_2$, entonces tenemos una función delta $\delta^4(p_1+p_2-k_1)$, la costumbre de conservación del momento de la relación que esperamos: $k_1=p_1+p_2$.

Pero entra antipartículas tienen líneas que punto de distancia desde el vértice, y saliente antipartículas tienen líneas que punto en el vértice, de modo que siempre contribuyen menos a su momento. En el mismo proceso de arriba da una función delta $\delta^4(-p_1+p_2+k_1)$, dando $-k_1=-p_1+p_2$. Nos deja volver a escribir este,

\begin{align} &q_1=-p_1, \quad q_2=-k_1 \\& q_2=q_1+p_2 \end{align}

Ahora se asemeja a la normal conservación de momento ecuación, y podemos relacionarnos de nuevo a la propagador ímpetus con las relaciones anteriores.

Answer 2

Si q es el impulso de positrones, el propagador para él sigue siendo $i\frac{\not{q}+m}{\not{q}^2 +m^2}$.