Forma diferencial global de un haz de línea hermítica

Question

Deje $X$ ser un equipo compacto, conectado superficie de Riemann y deje $(L,h)$ ser un hermitian línea de paquete en la $X$. Supongamos que $s$ es un valor distinto de cero meromorphic sección de $L$. He aprendido que el $(1,1)$-forma $$\omega_s:=\partial\bar\partial \log (h(s,s))$$ es muy importante para el estudio de la geometría de $X$, pero hay un par de cosas que no entiendo:

1. ¿Por qué es $\omega_s$ definido en el conjunto de la $X$? Quiero decir, $h(s,s)$ está bien definido sólo fuera de los polos y los ceros de $s$. Vamos denotar este conjunto abierto con $U$, $\omega_s$ $(1,1)$- forma en $U$ y no debe ser una forma de extender de forma única a $X$.
2. Suponiendo que $1.$ está demostrado, quiero entender por qué si $t$ es otro de meromorphic sección de $L$,$\omega_s=\omega_t$.

Podría usted dar por favor una prueba de estos hechos?

Edit: Claramente por $h$ me refiero a un suave colección de hermitian productos $h_x$ sobre el complejo de espacios vectoriales $L_x$$x\in X$.

Answer 1

$\newcommand{\dd}{\partial}$Mediante la eliminación de los ceros y polos como la que usted describe, usted puede (y debe) creo que de $s$ como un no-desaparición local de holomorphic sección. Desde $L$ es localmente trivial en $X$, existe un no-desaparición local de holomorphic sección en una vecindad de un punto arbitrario de $X$.

Si $t$ es otra, la relación de $s/t := f$ es un no-desaparición local de holomorphic función, y \begin{align*} \omega_{s} &= -i\dd \bar{\dd} \log h(s, s) \\ &= -i\dd \bar{\dd} \log h(ft, ft) \\ &= -i\dd \bar{\dd} \log \bigl[f\bar{f}\, h(t, t)\bigr] \\ &= -i\dd \bar{\dd} \bigl[\log f + \log \bar{f} + \log h(t, t)\bigr] \\ &= -i\dd \bar{\dd} \log h(t, t) \end{align*} desde $\log f$ es holomorphic (de ahí aniquilado por $\bar{\dd}$) y $\log \bar{f}$ es antiholomorphic (aniquilados por $\dd$).