$R$ es conmutativo,$I$,$J$ son ideales,$I+J=R$, luego$IJ=I\cap J$

Question

Si $R$ es un anillo conmutativo y $I$ $J$ son ideales s.t. $I+J=R$ a continuación muestran que la $IJ=I\cap J$.

Ya he demostrado que $IJ \subset I\cap J$, ahora necesito mostrar el reverso de la inclusión.

Estoy un poco perdido, así que ahora estoy simplemente averiguar qué piezas tengo que trabajar con el.

Tales como:

$\forall r\in R$ $\exists i\in I ,j\in J$ s.t. $i+j=r$

$\forall ij\in IJ$, $ij=i_1$ y $ij=j_1$ para algunos $i_1\in I$, $j_1\in J$.

También, si dejo $x\in I\cap J$, $x=i_2=j_2=i+j$ para algunos $i_2\in I$, $j_2\in J$

Nadie, tener problemas para llegar a la conclusión de aquí, gracias de antemano

Answer 1

Hay$i\in I, j\in J$ tal que$i+j=1$. Luego, para todos los$a\in I\cap J$,$$a=a1=a(i+j)=ai+aj\in JI+IJ=IJ.$ $

Answer 2

$I \cap J = (I \cap J) \cdot R \\ = (I \cap J) \cdot (I + J) \\ = (I \cap J) \cdot I + (I \cap J) \cdot J \\ \subseteq IJ + IJ \\ = IJ.$