¿Por qué bajo las transformaciones de Lorentz el bosón de Higgs es un campo escalar y bajo$SU(2)$ es un doblete?

Question

Estoy un poco confundido acerca de esta diferencia. Mi entendimiento es que cuando construimos un $G$-bundle, donde $G$ es un indicador de grupo, tenemos una representación de $\rho:G\to GL(V)$ que actúa sobre las fibras de la $G$-bundle. Ahora bien, si queremos actuar $SU(2),$ por ejemplo, en un campo escalar $\phi$, se debe utilizar una de las dimensiones de la representación desde $\phi:M\to\mathbb{C}$, ¿verdad? Pero, ¿cómo durante este proceso, el campo adquiere dos componentes? Yo diría que $\phi:M\to \mathbb{C}$ $\phi:M\to \mathbb{C}^2$ son secciones de diferentes paquetes, así que ¿cómo pueden ser los mismos?

PS: yo agradecería una respuesta en términos de los haces de fibras.

Answer 1

Yo no puedo dar una respuesta usando haces de fibras, pero creo que no es importante, ya que la confusión está en una mucho más simple nivel.

Un campo puede ser en diferentes representaciones de los diferentes grupo de simetría. El campo de Higgs es en el trivial de la representación de la Poincarre grupo, esto es, bajo las transformaciones de Lorentz, $\phi(x)\to \phi(\Lambda x)$, pero no trivial de la representación de varios internos de simetrías (un doblete de SU(2) $\phi(x)\to U \phi(x)$, en el no-trivial de la representación de U(1), pero en el trivial representación de SU(3) (asociado a QCD)). Si esta simetría se mide o no, no importa aquí.

Editar: Con el campo descrito anteriormente (doblete de SU(2), trivial repr. de Poincarre y SU(3), no trivial de U(1)), nos encontramos con que sólo tenemos dos complejos de campos de $\phi(x)\equiv(\phi_1(x),\phi_2(x))$ (de modo que $\phi : M\to \mathbb{C}^2$).

Las transformaciones son así ($a=1,2$):

• Lorentz : $\phi_a(x)\to \phi_a(\Lambda x)$,
• SU(3) : $\phi_a(x)\to \phi_a(x)$,
• SU(2) : $\phi_a(x)\to U_{ab}\phi_b(x)$,
• U(1) : $\phi_a(x) \to e^{i \theta} \phi_a(x)$.

Answer 2

Veamos un ejemplo y tomar el Weinberg-Salam de Lagrange: $$ \mathscr{L} = i\bar{\psi}\gamma\cdot\partial\psi - m\bar{\psi}\psi $$ y nos vamos a adaptar al caso describir los electrones y los neutrinos como $$ \mathscr{L} = i\bar{\textrm{e}}_R\gamma\cdot\partial\textrm{e}_R + i\bar{\textrm{e}}_L\gamma\cdot\partial\textrm{e}_L + i\bar{\nu}_L\gamma\cdot\partial\nu_L $$ donde hemos descompuesto el spinor $\psi$ a su izquierda (respectivamente a la derecha) proyección e hizo uso de la física supuesto de que no haga helicidad de los neutrinos han encontrado todavía (por lo tanto no aparecen en el de Lagrange). Todos los campos son sin masa, como la masa va a ser generada a través del mecanismo de Higgs y la ruptura de la simetría. Suponemos, además, que el grupo interno de transformaciones (si hay alguna) un mapa de campos en campos con las mismas propiedades físicas; por lo tanto reclamamos $$ L = \begin{pmatrix}\nu_L\\ \textrm{e}_L\end{pmatrix}\qquad R = \textrm{e}_R $$ así que $$ \mathscr{L} = i\bar{R}\gamma\cdot\partial R + i\bar{L}\gamma\cdot\partial L $$ Si asumimos $R$ a transformar en virtud de la uno-dimensional representación de $SU(2)$ e L bajo el estándar de dos dimensiones, se puede entonces afirmar que el anterior de Lagrange en invariantes bajo $SU(2)$ transformaciones. Si así es la estructura, entonces cualquier campo adicional presentamos debe ser de forma similar, de ahí que el campo de Higgs puede ser escrito como $$ \Phi = \begin{pmatrix}\phi^+(x)\\ \phi^0(x)\end{pmatrix} $$ donde el superíndice $+,0$ es debido a la isospin (pero podemos, así se les llama a $\phi^{1,2}$). Es entonces claro, ahora, que a fin de conservar la invariabilidad de la estructura inicial, el nuevo campo de Higgs debe transformar como $$ \Phi' = \begin{pmatrix}{\phi^+}'\\ {\phi^0}'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\ldots && \ldots \\ \ldots && \ldots\end{pmatrix} \begin{pmatrix}{\phi^+}\\ {\phi^0}\end{pmatrix} = \Lambda(SU(2))\Phi $$ donde la gran matriz es una representación en dos dimensiones de $SU(2)$.

La aplicación de un local de la transformación de Lorentz $\Gamma$ sobre el punto de $x$ a que los componentes de los campos de Higgs $\phi^{+,0}$ dependen de nosotros, sin embargo, $$ \Phi'(x') = \Phi'(\Gamma x) = \Phi(x) $$ según el requisito de que $\Phi$ es un campo escalar de Lorentz de la representación.

Answer 3

Cuando decimos escalar, spinor, vector, y así sucesivamente, de campo, podemos decir que la representación de la estructura de paquete el campo pertenece. O en el índice de notación, que el espacio-tiempo de los índices del campo: ninguno, spinor, vector, y así sucesivamente. Podemos combinar esto con simetrías internas que se $G$-bundles para algún grupo gauge $G$, por ejemplo,$SU(2)$. En los índices que esto es algo adicional en el interior de índice. Por ejemplo, el medidor de potencial en QCD es generalmente escrito $A_{\mu a}$ donde $\mu$ es el índice vectorial y $a$ el color ($\operatorname{ad} SU(3)$) índice.

La manera de hacer esto es que si $E,F$ vector de paquetes de más de $M$ entonces existe un paquete de $E \otimes F$ $M$ tal que la fibra es $e \otimes f$. La estructura de grupo de este grupo de productos es el producto de la estructura de los grupos de $E,F$. Por lo tanto podemos hablar de cosas como un $SU(2)$ singlete escalar o una $SU(3)$ triplete spinor. En el primer caso, $E$ es el trivial de la línea de paquete y $F$ $SU(2)$ doblete paquete. [La prueba de este teorema consiste en escribir el mensaje en un local de la sección y una comprobación de que la transición de los mapas correctamente. Para esto lo que se necesita es que el $u \otimes v $ es suave en ambos argumentos, el uso de la noción habitual de los derivados sobre finito-dimensional espacios vectoriales. Así, la declaración se generaliza a functors como $\wedge,\oplus$. ]