Pregunta básica sobre densidad natural

Question

Supongamos que tenemos una secuencia finita de conjuntos de $A_1, A_2, \ldots$, que la partición de $\mathbb{N}$. Estoy haciendo ninguna otra hipótesis sobre el $A_n$ - es decir, no puede haber cualquier cantidad de intercalar entre ellos. Ahora supongamos que tenemos $S\subset\mathbb{N}$. Si $\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{|S\cap A_n|}{|A_n|}=0$, no se sigue que la $S$ tiene un natural de la densidad de 0?

(Y si es así, mientras estoy en ello, 0 puede ser sustituido por otros números? Natural de la densidad ser sustituida por la parte superior, de menor densidad? Más que nada la atención acerca de la densidad de 0 (equivalentemente, densidad 1) caso,).

EDIT: Y si la afirmación es falsa, hay algunas suficiente poco intercalado condición en la $A_n$ me podía creer que iba a hacer realidad?

Answer 1

Esto es falso. Deje $S$ ser cualquier infinita coinfinite subconjunto de $\mathbb{N}$, y deje $A_n$ contienen $1$ elemento $S$ $n$ elementos de $\mathbb{N} \setminus S$ (es claro que siempre se puede encontrar una partición, por ejemplo, de forma recursiva, dejando $A_n$ contienen el más pequeño de los números adecuados no ya en $A_i$ algunos $i < n$). A continuación,$\lim_{n \to \infty} \frac{|S \cap A_n|}{|A_n|}=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1}=0$, pero la densidad de $S$ puede ser cualquier cosa en $[0,1]$, o no existen en absoluto.

En otras palabras: su condición de $S$ e las $A_n$s no hace uso de la estructura de orden en $\mathbb{N}$, y sólo trata a $\mathbb{N}$ como no estructurados conjunto. Así pues, puede no implica nada acerca de $S$ que no lo está ya implícita por su cardinalidad y cocardinality.

Answer 2

Arreglar un aumento de la secuencia de enteros positivos $(k(n))_n$ y deje $A_n=[k(n),k(n+1))$.

Fijar una secuencia de enteros positivos $(\ell(n))_n$ tal que $\ell(n)\le k(n+1)-k(n)$ por cada $n$ y definen $S$ como la unión de los intervalos de $[k(n),k(n)+\ell(n))$.

Suponga que $\ell(n)\ll k(n+1)-k(n)$. A continuación, $|S\cap A_n|\ll|A_n|$ por lo tanto la hipótesis se cumple.

Suponga además que el $\ell(n)\ge uk(n)$ para un determinado positivo $u$, para cada $n$. A continuación, para cada $N=k(n)+\ell(n)$, $$ \frac1N|S\cap\{1,2,\ldots,N\}|\ge\frac{\ell(n)}{k(n)+\ell(n)}\ge\frac{u}{1+u} $$ por lo tanto el natural de la densidad de $S$ no puede ser $0$ y su conclusión no se sostiene.

Cada una de las condiciones anteriores en las secuencias $(k(n))$ $(\ell(n))$ se cumple si, por ejemplo, $k(n)=2^{n^2}$$\ell(n)=2^{n^2+n}$.

En este ejemplo concreto, la secuencia de las densidades de término general $N^{-1}|S\cap\{1,2,\ldots,N\}|$ converge a $0$ cuando se limita a los números enteros $N=k(n)$ y converge a $1$ cuando se limita a los números enteros $N=k(n)+\ell(n)$, por lo tanto el conjunto de límite de puntos de toda la secuencia de las densidades es el intervalo de $[0,1]$.