No sólo es $S$ cerrada, también está acotada y por tanto es compacta, por lo que es ciertamente completa.
Corrección: De alguna manera, interpreté mal la definición de $W$ como $\Bbb Z^+\cup\left\{\frac1n:n\in\Bbb Z^+\right\}$ así que lo que dije originalmente al respecto es una tontería.
$$W=\left\{n+\frac1n:n\in\Bbb Z^+\right\}=\left\{2,\frac52,\frac{10}3,\dots,\frac{n^2+1}n\dots\right\}\;,$$
que es un conjunto cerrado y discreto y, por tanto, completo. La distancia mínima entre dos puntos distintos de $W$ es $1/2$ entre $2$ y $5/2$ . Para demostrarlo, supongamos que $m,n\in\Bbb Z^+$ con $m<n$ . Entonces, como $\dfrac1m\le 1$ , $m+\dfrac1m\le n<n+\dfrac1n$ y
$$\begin{align*} \left|\left(m+\frac1m\right)-\left(n+\frac1n\right)\right|&=n+\frac1n-\left(m+\frac1m\right)\\ &=n-m-\left(\frac1m-\frac1n\right)\\ &=n-m-\frac{n-m}{mn}\;. \end{align*}$$
Ahora $n-m<n$ y $mn\ge n$ Así que $\dfrac{n-m}{mn}<1$ y $n-m-\dfrac{n-m}{mn}>n-m-1$ . Esto es al menos $1$ a menos que $n=m+1$ .
Si $n=m+1$ , $n-m-\dfrac{n-m}{mn}=1-\dfrac1{m(m+1)}$ se maximiza cuando $m=1$ , en cuyo caso es $\dfrac12$ .
Por lo tanto, en todos los casos,
$$\left|\left(m+\frac1m\right)-\left(n+\frac1n\right)\right|\ge\frac12$$ cuando $1\le m<n$ .
