Calcular la raíz cuadrada de un número complejo

Question

Se trata de un seguimiento a una pregunta anterior. Resolví la ecuación $z^4 - 6z^2 + 25 = 0$ y encontré respuesta 4 $z = \pm\sqrt{3 \pm 4i}$.

Sin embargo, alguien en el comentario dijo que la respuesta va a ser $2+i$, $2-i$, $-2+i$, $-2-i$. No entiendo cómo podemos encontrar las raíces de la respuesta que encontré. ¿Cómo se supone que debemos calcular la raíz cuadrada de un número complejo?

Answer 1

Sugerencia:

Que $x + yi = \sqrt{a + bi}$. Entonces $(x+ yi)^2 = a + bi$. Luego resolver $x$ y $y$ y generalmente se tienen dos conjuntos de valores para la raíz cuadrada de $ \sqrt{a + bi}$

Ejemplo:

Dices que quieres calcular $\sqrt{3 + 4i}$. Entonces asumir que la raíz cuadrada es $a + bi$. Es $a + bi = \sqrt{3 + 4i} \implies (a + bi)^2 = (a^2 - b^2) + 2abi = 3 + 4i$. Ahora resolver la ecuaciones $ (a^2 - b^2) = 3$ y $2ab = 4$ $a$ y $b$.

Answer 2

Let $$\sqrt{3+4i}=r(\cos\theta+i\sin\theta)$$ for some $r,\theta$. Squaring both sides, and using de Moivre, we get $$3+4i=r^2(\cos2\theta+i\sin2\theta)$$ so $$3=r^2\cos2\theta,\qquad4=r^2\sin2\theta$$ Squaring and adding gives $$25=3^2+4^2=r^4(\cos^22\theta+\sin^22\theta)=r^4$$ so $r=\sqrt5$. Dividing gives $$\tan2\theta=4/3$$ and $\theta=(1/2)\arctan(4/3)$. So, $$\sqrt{3+4i}=\sqrt5(\cos((1/2)\arctan(4/3))+i\sin((1/2)\arctan(4/3)))$$ This isn't exactly what you want, so let's have a look at that arctangent. Recall $$\tan2\theta={2\tan\theta\over1-\tan^2\theta}={2u\over1-u^2}$$ where I introduce the abbreviation $u=\tan\theta$. So, $${2u\over1-u^2}={4\over3}$$ This is $2u^2+3u-2=0$, $u=(-3\pm5)/4$. Let's take the plus sign, $u=1/2=\tan\theta$, so $\cos\theta=2/\ sqrt5$, $\sin\theta=1/\sqrt5$. Now $$\sqrt{3+4i}=r(\cos\theta+i\sin\theta)=\sqrt5((2/\sqrt5)+i(1/\sqrt5))=2+i$$ con cuidado un poco más, llegar a las otras tres soluciones.

Al parecer, de Moivre no es la mejor manera de ir, aquí.

Answer 3

Supongamos que $(x+iy)^2 = a+ib$ $a,b$ real y quieres encontrar valores reales $x$ y $y$.

Entonces $(x^2-y^2) + i(2xy) = a+ib$. Desde $a,b,x,y$ son reales, esto es equivalente a $x^2-y^2 = a$ y $2xy = b$

$(x^2+y^2)^2 = (x^2-y^2)^2 + 4x^2y^2 = a^2+b^2$, que $x^2+y^2 = \sqrt {a^2+b^2}$. Siempre escoges la raíz positiva porque $x^2+y^2$ es positiva.
Entonces, $x^2 = \frac {\sqrt {a^2+b^2}+a}2$, que $x = \pm \sqrt \frac {\sqrt {a^2+b^2}+a}2$ y finalmente $y = \frac b{2x}$ si $x \neq 0$.
Si $x = 0$ tienes que usar $y = \pm \sqrt \frac {\sqrt {a^2+b^2}-a}2$ en su lugar.

Aquí, $a=3, b=4$, $a^2+b^2 = 9+16 = 25 = 5^2$ de % que $x = \pm \sqrt {\frac{5+3}2} = \pm 2$ y $y = \frac 4 {2x} = \pm 1$ (con el mismo signo como $x$). Esto da las dos raíces cuadradas de $3+4i$.

Answer 4

Cómo se supone que vamos a calcular la raíz cuadrada de un número complejo?

Si $z$ es un valor no positivo de número real, la plaza de las raíces se $\pm\sqrt{-z}\cdot\mathrm i$. De lo contrario, la raíz cuadrada de $z$

$$ \pm\sqrt{r}\cdot\frac{z+r}{|z+i|r},\qquad\text{con}\ r=|z|. $$

La fórmula es de fiar porque $z+r\ne0$. Todo el procedimiento requiere el uso de las operaciones habituales $+$, $-$, $\times$, $\div$, y para calcular tres veces la raíz cuadrada de algún número real positivo... pero nada más.

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Ejemplo: Si $z=3+4\mathrm i$ $r^2=3^2+4^2$ por lo tanto $r=5$, $z+r=8+4\mathrm i$, que es, $z+r=4(2+\mathrm i)$, $|z+r|=4|2+\mathrm i|=4\sqrt5$ y las raíces cuadradas son $$ \pm\sqrt5\cdot\frac{4(2+\mathrm i)}{4\sqrt5}=\pm(2+\mathrm yo). $$ Un poco menos compone ejemplo, considere el $z=3+2\mathrm i$, entonces la identidad de arriba muestra que la raíz cuadrada de $z$ $$ \pm\frac{3+\sqrt{13}+2\mathrm i}{\sqrt2\cdot\sqrt{3+\sqrt{13}}}. $$