Si X es una variable aleatoria que tiene la probabilidad previa y gaussiano gaussiano. ¿Lo que puede inferirse sobre la parte posterior?
Como posterior es proporcional a la antes * probabilidad que son Gaussianas, la parte posterior también debe ser Gaussianas. Pero las luchas lo que.
Los exponentes en la previa de la densidad y la posibilidad de que se agregan a cada uno de los otros $$ \frac{(\mu\mu_0)^2}{\tau^2} + \frac{(\overline x - \mu)^2}{\sigma^2/n} \quad = \quad \frac{\sigma^2(\mu\mu_0)^2 + \tau^2(\overline x - \mu)^2}{\sigma^2\tau^2/n} \tag 1 $$ Ahora vamos a trabajar en el numerador: $$ ((\sigma^2/n)+\tau^2) \Big(\mu^2 - 2(\mu_0\sigma^2 + \overline x \tau^2)\mu + \text{"constante"} \Big) \tag 2 $$ donde "constante" significa no dependiendo de la $\mu$.
Ahora completar el cuadrado: $$ \Big(\mu - (\mu_0 \sigma^2 + \overline x \tau^2)\Big)^2 + \text{"constante"} $$ (donde esta "constante" será diferente a la anterior, pero sólo se convierte en parte de la normalización de la constante).
De modo que la parte posterior de la densidad es $$ \text{constante} \times \exp\Big( \text{negativa constante} \times (\mu\text{algo})^2 \Big).$$
En otras palabras, la parte posterior es Gaussiano.
La parte posterior de la media es un promedio ponderado de los antes de decir $\mu_0$ y la media de la muestra $\overline x,$ con pesos proporcionales a los recíprocos de las varianzas $\tau^2$ (de los anteriores) y $\sigma^2/n$ (para el promedio de la muestra).
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