La definición formal de horizontal y vertical de los espacios no son importantes ahora, para nosotros, que sólo va a servir como una herramienta. La Idea es que por medio de la horizontal de los espacios que podemos hablar acerca de cómo una conexión i.e, un campo de fondo) cambios en la diferenciación de la regla (se puede comparar con la relatividad general, donde la curvatura del espacio-tiempo hace, en efecto, te obligan a usar el covariante differentiatial operador $\nabla_{\mu}$ (con respecto a algún sistema de coordenadas). Permítanme hacer esta afirmación precisa!
Formal prelimarys
A lo largo de esta sección, vamos a fijar una representación $\rho:G \to GL(V)$ de la estructura de grupo en algunos finito dimensional espacio vectorial $V$ y una forma de conexión $A$ a $P$.
Definición 1. $\quad$ Dado un PFB $P \to M$ más de un (espacio-tiempo) $M$ e un espacio vectorial $V$ definimos el espacio de $\Omega^k_{\mathrm{hor}}(P,V)^{(G, \rho)}$ como el espacio de todas las $V$ valores de $k$ formas de $\omega \in \Omega^k(P,V)$ que satisfacer $$1. \quad \omega_p(X_1,...,X_n) = 0, \text{if any of the} \ X_i \ \text{is vertical};$$
$$2. \quad R^*_g\omega_p = \rho(g^{-1}) \circ \omega_{p}, \ \text{for all} \ g \in G, \ \text{where $R_g$ denotes the right translation by $g$}.$$
Vamos a llamar a formas diferenciales que satisfacen 1. horizontal y formas que satisfagan 2. de tipo $\rho.$
Definición 2. $\quad$
La derivada covariante de $A$ está dado por $$D_{A} \omega_p(X_1,...,X_k) := d \omega_p (pr_hX_1,...,pr_hX_k)$$
para cualquier $k$ formulario $\omega \in \Omega^k(P,V)$, donde $p \in P$ e $pr_h$ denota la proyección sobre el subespacio horizontal de $T_pP.$
Entonces se obtiene:
Teorema. $\quad$ A $\Omega^{k}_{\mathrm{hor}}(P,V)^{(G. \rho)}$ tenemos:
$$D_{A}\omega = d \omega + \rho_{*}A \wedge \omega,$$
donde $\rho_*$ indica el diferencial de $\rho$ a $e \in G$ y la expresión
$\rho_* A \wedge \omega$ se define a través de $$\rho_*A \wedge \omega (X_0,...,X_k) := (-1)^i \rho_*A(X_i) \omega(X_0,...,\hat{X_i},...,X_k),$$
el sombrero denota que este vector se omite y se empleó el convenio de sumación.
Relacionando los dos derivados:
(1.) $\quad$ En su primera ecuación, usted está buscando en horizontal 1 formas de tipo $Ad,$ donde $Ad:G \to GL(T_eG)$ es el adjunto de la representación de la Mentira de Grupo $G$ en su Mentira Álgebra. Desde $Ad_*(X) = [X, \ . \ ],$ obtener su ecuación como un caso especial de la preeceding teorema (después de todo lo que se tira a un adecuado conjunto de $U \subset M$ a través de una sección de $s: U \to P$).
(2.) $\quad$ Ahora, vamos a tomar cualquier función suave $\psi: P \to V$, que satisface $\psi(pg)= \rho(g^{-1})\psi$. Si usted tire de ella a través de la sección de $s:U \to P$ obtener una función suave $\psi': U \to V$ que se puede considerar como un calibrado (fermión) de campo. Estas son las funciones en las que la derivada inducida por las conexiones que corresponden a los Bosones de gauge están destinados a actuar. Observe que si usted elige un diferente calibre $s': U \to V$ , a continuación, usted puede encontrar una función $\mu: U \to G$ tal que $\psi'' := \psi \circ s' = \rho(\mu( \ \ )^{-1}) \psi'$ cual es la razón por la que usted quiere ver ese tipo de funciones. Que captar con precisión la transformación de la propiedad de los campos por debajo de un determinado indicador de la transformación. Ahora, en $\psi$ tenemos, ya $\psi \in \Omega^0_{\mathrm{hor}}(P,V)^{(G, \rho)}$: $$D_A \psi = d\psi + \rho_*A \psi$$
que, después de tirar de nuevo a través de $s$ y, a continuación, escribir en coordenadas, se convierte en:
$$D_{\mu} \psi' = \partial_{\mu}\psi' + \rho_*A^{s}_{\mu} \psi' $$
donde $A^s$ es la sacó de nuevo la conexión, yo.e su "medidor de potencial" y el índice de $\mu$ indica que los componentes en el sistema de coordenadas de la elección. El factor de $ig$ es, hasta donde yo sé, el convenio para enfatizar que la representación $\rho$ no es trivial, i.e $\rho_* \neq 0$ y la mención de la explizit representación de la mayoría de las veces se omite en física de la literatura.
Observaciones Finales:
Para leer más, me gustaría recomendar la "Teoría de Gauge y Principios Variacionales" por d. Bleecker. Este no es el más fácil de leer, pero tiene muchos ejemplos físicos y creo que va a ayudar a usted.
Además, el preeceding es técnica, pero que realmente es! Yo no escribir todo en detalle, ya que creo que va a ser un buen ejercicio para comprobar usted mismo (principalmente porque no parece que la "brutal", después de hacer un par de cálculos con ella).
Edit: tal vez Bleeckers libro es una exageración, creo que cualquier libro que trata de las conexiones principales de haces de fibras para hacer el trabajo. Ser consciente de que lo que he escrito se entiende pre segunda cuantización.
