¿División utilizando sólo la suma y la multiplicación?

Question

Necesito realizar una operación de división utilizando sólo la suma y la multiplicación. No puedo utilizar la substracción. ¿Es posible hacerlo de alguna manera con sólo estas dos operaciones?

Answer 1

Si puedes hacer comparaciones, entonces puedes manejar esto con una precisión arbitraria.

Que los dos números sean $a$ y $b$ y usted está tratando de calcular $b \div a$ . Si $a = 0$ La división es ilegal, y estás acabado. Si $b = 0$ el cociente es $0$ y ya está.

Si no, cuenta cuántas veces puedes añadir $a$ a sí mismo antes de alcanzar o superar $b$ . Asegúrate de llevar la cuenta de las sumas en curso. Si llegas a $b$ exactamente, se trata del cociente de enteros $q$ exactamente, y ya está.

En caso contrario, uno menos que el recuento es $q$ la parte entera del cociente, y la penúltima suma fue $qa$ . Ahora multiplique tanto esto como $b$ por $10$ , por lo que ahora está comparando $10qa$ y $10b$ . De nuevo, añada $a$ a la primera hasta alcanzar o superar $10b$ . Si llega a $10b$ exactamente, entonces el recuento es $r_1$ , el primer y el último dígito decimal del cociente, y ya está.

Por lo demás, $r_1$ es uno menos que la cuenta. Si has llevado la cuenta de las sumas en curso, la suma anterior será $(10q+r_1)a$ . Multiplique esto y $10b$ por $10$ Así que ahora estás comparando $(100q+10r_1)a$ y $100b$ . De nuevo, añada $a$ a la primera hasta alcanzar o superar $100b$ que le permitirá determinar $r_2$ el segundo dígito de la parte decimal del cociente. Confío en que puedas seguir con esto.

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Ejemplo. Dejemos que $a = 4$ y $b = 19$ . Podemos añadir $a = 4$ a sí mismo $5$ veces para superar $b = 19$ , por lo que uno menos que eso es $q = 4$ la parte entera del cociente.

La suma anterior era $qa = 16$ . Multiplique esto y $b$ por $10$ para conseguir $10qa = 160$ y $10b = 190$ . Podemos añadir $a = 4$ a $10qa = 160$ un total de $8$ veces antes de superar $10b = 190$ , por lo que uno menos que eso es $r_1 = 7$ el primer dígito de la parte decimal del cociente.

La suma anterior era $10qa+r_1a = 188$ Así que multiplicamos esto y $190$ por $10$ para conseguir $1880$ y $1900$ . Podemos añadir $a = 4$ un total de $5$ veces a la $1880$ para alcanzar $1900$ exactamente, así que $r_2 = 5$ es el segundo y último dígito de la parte decimal del cociente.

Answer 2

Una división larga implica la multiplicación y la sustracción en cada etapa, por lo que sólo hay que considerar la conversión de una suma en una resta. Esto se puede hacer (en el sistema numérico decimal) tomando el complemento a 10 del sustraendo, que luego se suma e ignora cualquier arrastre (similar al algoritmo de sustracción para los números binarios).

Ejemplo para $23 - 15 = 08$ : El $9$ El complemento de $15$ es $(9-1)(9-5) = 84$ De ahí que el $10$ es el complemento de $84+1=85$ . Así, $23+85=108$ . Ignorando la salida que lleva $1$ da $08$ .

Nota: es discutible si tomar el complemento es una operación de sustracción o no. Como sólo hay $10$ dígitos, puede hacerse utilizando una tabla de búsqueda en lugar de realizar una operación matemática real.