Evaluar $\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{\cos A + \cos B + \cos C}$ para un triángulo con lados $2$ , $3$ , $4$

Question

¿Qué es? $$\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{\cos A + \cos B + \cos C}$$ para un triángulo con lados $2$ , $3$ y $4$ ?

Se puede utilizar la fórmula de Heron para obtener $\sin A$ etc., y utilizar $\cos A = (b^2+c^2-a^2)/(2bc)$ para obtener los cosenos. Pero eso es un montón de cálculos.

¿Hay una forma mejor de obtener la respuesta? Gracias.

Answer 1

Hay identidades bien conocidas para $\triangle ABC$ con los ángulos $A,B,C$ , lados $a,b,c$ , semiperímetro $\rho=\tfrac12(a+b+c)$ , zona $S$ , radio $r$ de inscrito y radio $R$ de círculos circunscritos,

\begin {align} \sin A+ \sin B+ \sin C &= \frac\rho {R} \tag {1} \label {1} , \\ \cos A+ \cos B+ \cos C &= \frac {r+R}{R} \tag {2} \label {2} , \end {align}

así que

\begin {align} x&= \frac { \sin A + \sin B + \sin C}{ \cos A + \cos B + \cos C} = \frac { \rho }{r+R} \tag {3} \label {3} , \end {align}

también sabemos que

\begin {align} R&= \frac {abc}{4S} , \\ r&= \frac {S}{ \rho } , \\ S&= \tfrac14\sqrt {4(ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2} , \\ \end {align}

por lo que podemos encontrar que para $a=2,b=3,c=4$ \begin {align} \rho &= \frac {9}{2} , \\ S&= \frac {3 \sqrt {15}}{4} , \\ R&= \frac {8 \sqrt {15}}{15} , \\ r&= \frac { \sqrt {15}}{6} , \\ x&= \frac { \rho }{r+R} = \frac {3 \sqrt {15}}{7} \approx 1.6598500 . \end {align}

Answer 2

Utilizando una aplicación del Teorema del ángulo inscrito obtenemos $$ \begin{align} 2R\sin(A)=a\tag{1a}\\ 2R\sin(B)=b\tag{1b}\\ 2R\sin(C)=c\tag{1c} \end{align} $$ donde $R$ es el radio del Circunvalación .

Además, con $s=\frac{a+b+c}2$ , $$ \begin{align} \text{Area} &=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\tag2\\[3pt] &=\frac12bc\sin(A)\tag3\\ &=\frac{abc}{4R}\tag4 \end{align} $$ Explicación:
$(2)$ : Fórmula de la garza
$(3)$ : área triangular dada por Producto cruzado
$(4)$ : aplicar $\text{(1a)}$ a $(3)$

Por lo tanto, $$ \begin{align} \sin(A)+\sin(B)+\sin(C) &=\frac{a+b+c}{2R}\tag5\\ &=\frac{4s\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{abc}\tag6 \end{align} $$ Explicación:
$(5)$ : aplicar $\text{(1a)}$ , $\text{(1b)}$ y $\text{(1c)}$
$(6)$ : obtener $R=\frac{abc}{4\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ de $(2)$ y $(4)$

La Ley de los Cosenos dice $$ \begin{align} \cos(A)&=\frac{b^2a+c^2a-a^3}{2abc}\tag{7a}\\ \cos(C)&=\frac{c^2b+a^2b-b^3}{2abc}\tag{7b}\\ \cos(C)&=\frac{a^2c+b^2c-c^3}{2abc}\tag{7c} \end{align} $$ Si se suman y se factorizan, se obtiene $$ \begin{align} \cos(A)+\cos(B)+\cos(C) &=\frac{(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{2abc}+1\tag8\\ &=\frac{4(s-a)(s-b)(s-c)}{abc}+1\tag9 \end{align} $$ Combinando $(6)$ y $(9)$ da $$ \frac{\sin(A)+\sin(B)+\sin(C)}{\cos(A)+\cos(B)+\cos(C)}=\frac{4s\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{4(s-a)(s-b)(s-c)+abc}\tag{10} $$

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Enchufando $(a,b,c)=(2,3,4)$ en $(10)$ da $$ \begin{align} \frac{\sin(A)+\sin(B)+\sin(C)}{\cos(A)+\cos(B)+\cos(C)} &=\frac{4\cdot\frac92\sqrt{\frac92\cdot\frac52\cdot\frac32\cdot\frac12}}{4\cdot\frac52\cdot\frac32\cdot\frac12+2\cdot3\cdot4}\\ &=\frac{3\sqrt{15}}{7}\tag{11} \end{align} $$