Existe una extensión única$\hat{T}$ de un operador lineal delimitado$T$.

Question

Estoy tratando de demostrar el siguiente teorema :

Teorema : Vamos a $X,Z$ ser de Banach (normativa) de los espacios y $Y$ ser un subespacio denso de $X$. Deje $T:Y \to Z$ ser un delimitada operador lineal. Entonces, existe un único extensión de $\hat{T}$ de $T$ , que también es un jugador que realiza el saque lineal operador con $\|\hat{T}\| = \|T\|$.

Intento de prueba :

Si $x \in X$ desde $Y$ es denso en $X$, existe una secuencia $(x_n)$ de $Y$ con $x_n \to x$. Esto significa que para otra secuencia $(x_m)$ de $Y$ :

$$\|x_n - x \| \to 0 \implies \|x_n - x_m \| < \varepsilon$$

Pero desde $T$ es un delimitada operador lineal y $(x_n),(x_m) \in Y$, es :

$$\|Tx_n-Tx_m\|\leq \|T\|\cdot\|x_n-x_m\| < \|T\|\cdot \varepsilon$$

lo que implica que la secuencia de $(Tx_n)$ es de Cauchy. Pero el espacio de $Z$ es de Banach, así que esto significa que $Tx_n \to z$ para algunos $z \in Z$.

Ahora, si dejamos $\hat{T}x \equiv z$, nos aportadas para demostrar que $\hat{T}|_Y = T$ mientras $\hat{T}$ es lineal, acotado y también a$\|\hat{T}\| = \|T\|$.

Pregunta : me parece estar atascado y sin ideas sobre cómo proceder a probar que el final de los términos necesarios para mi prueba. Cualquier sugerencias o explicaciones acerca de cómo probar la final de las declaraciones -- $\hat{T}|_Y = T$ mientras $\hat{T}$ es lineal, acotado y también a$\|\hat{T}\| = \|T\|$ -- será muy apreciada !

Answer 1

Lo primero es mostrar que la extensión está bien definido. Si $(y_n)$ es otra secuencia en $Y$ convergentes a $x$ entonces $x_n-y_n \to 0$ lo $\|T(x_n-y_n)\|\leq \|T\| \|x_n-y_n\| \to 0$. Por lo $\lim Tx_n=\lim Ty_n$. Por lo tanto $\hat {T}$ está bien definido. Ahora si empezamos con $x \in Y$ podemos tomar $x_n=x$ para todos los $n$ lo $\hat {T}x =\lim Tx_n=Tx$. Esto demuestra $\hat {T}$ es de hecho una extensión de $T$. Desde $\|\hat {T} x\| =\lim \|Tx_n\| \leq \|T\| \|x_n\|=\|T\|\|x\|$ vemos que $\|\hat {T}\| \leq \|T\|$. La definición de la norma de un operador inmediatamente se da a la inversa en la igualdad (porque $\hat {T}$ es una extensión de $T$).