sobre una esperada desigualdad de valores.

Question

Dado $X$ una variable aleatoria que toma valores en todos los $ \mathbb {R}$ con la función de densidad de probabilidad asociada $f$ ¿Es cierto que para todos $r > 0$

$$E \left [ \int_ {X-r}^{X+r} f(x) dx \right ] \ge E \left [ \int_ {X-r}^{X+r} g(x) dx \right ]$$

para cualquier otra función de densidad de probabilidad $g$ ?

Esto me parece intuitivamente cierto y me imagino que si fuera cierto que se ha probado pero no puedo encontrar un resultado similar en los libros de texto estándar, incluso una referencia es bienvenida.

Answer 1

Tomando el caso particular de las pequeñas $r$ ( $r \to 0$ ) y continuo $f$ tu desigualdad se convierte en equivalente a

$$ \int f^2 \ge \int f g $$

con las restricciones $ \int f = \int g = 1$ y $f \ge 0$ , $g \ge 0$ . Esto es claramente falso. Para un fijo $f$ maximizamos $ \int f g$ no eligiendo $g=f$ pero al elegir $g$ concentrado alrededor del modo (máximo) de $f$ .

Por cierto, su afirmación tiene una interpretación simple: supongamos que tengo que adivinar el valor de una variable aleatoria $x$ con pdf $f$ para que yo gane si el error absoluto $e=|x- \hat x|$ es menor que $r$ . Si la desigualdad fuera cierta, entonces la conclusión sería que mi mejor estrategia (en términos de tasa de ganancia esperada) es hacer una suposición al azar, dibujando mi $ \hat x$ como una variable aleatoria independiente con la misma densidad que $x$ . Pero esto no es cierto, la conjetura óptima es elegir un valor determinante, el que maximiza la respectiva integral; para pequeños $r$ este es el modo de $f$ (máximo a posteriori).

Answer 2

Desafortunadamente, su conjetura intuitiva es INCORRECTO.

Deje que $f(x)$ ser el PDF de la variable aleatoria $X$ y $F(x)$ sea su PDF acumulativo, de modo que $F'(x)=f(x)$ o $$F(x)= \int_ {- \infty }^x f(t)dt$$ Del mismo modo, que $g(x)$ ser otro PDF con PDF acumulativo $G(x)$ . Entonces el valor esperado de la integral $$ \int_ {X-r}^{X+r} g(x)dx$$ es igual a $$ \int_ {- \infty }^ \infty \int_ {x-r}^{x+r} f(x)g(t)dtdx= \int_ {- \infty }^ \infty (G(x+r)-G(x-r))f(x)dx$$ Al utilizar la integración por partes, tenemos que $$ \int_ {- \infty }^ \infty (G(x+r)-G(x-r))f(x)dx= \int_ {- \infty }^ \infty (F(x+r)-F(x-r))g(x)dx$$ Considere este simple contraejemplo. Deje que $r=1$ y supongamos que $$f(x)= \frac {1}{ \pi } \frac {1}{1+x^2}$$ Entonces, si su conjetura es cierta, para ninguna función $g$ ¿la integral $$ \frac {1}{ \pi } \int_ {- \infty }^ \infty ( \arctan (x+1)- \arctan (x-1))g(x)dx$$ incluso superan el valor $$ \frac {1}{ \pi ^2} \int_ {- \infty }^ \infty \frac { \arctan (x+1)- \arctan (x-1)}{1+x^2}dx \approx 0.1475$$ Sin embargo, supongamos que dejamos $$g(x)= \frac {4}{ \pi } \frac {1}{1+4x^2}$$ Entonces el valor de nuestra integral es igual a $$ \frac {4}{ \pi ^2} \int_ {- \infty }^ \infty \frac { \arctan (x+1)- \arctan (x-1)}{1+4x^2}dx \approx 0.3743$$ lo que refuta su conjetura.