Tengo un ejercicio en el que se supone que debo encontrar los cosets izquierdo y derecho de H = {(1), (12), (34), (12) ○ (34)} in S4 . ¿Pero cómo genero los cosets? Como he entendido, se supone que debes elegir un número que no esté en el conjunto. H y multiplicarlo por cada número en H . Pero esto no da exactamente la respuesta correcta. Apreciaría mucho que alguien diera una explicación fácil de entender de cómo generar los cosets izquierdo y derecho.
Respuestas
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Suponga que su grupo es $G$ y el subgrupo es $H$ . Por definición $gH$ ={ $gh$ | $h \in H$ es un coset izquierdo de $H$ respeto a $g$ en $G$ y $Hg$ ={ $hg$ | $h \in H$ es un coseno derecho de $H$ respeto a $g$ en $G$ . Aquí está su grupo $S_4$ ={ $(),(3,4),(2,3),(2,3,4),(2,4,3),(2,4), (1,2),(1,2)(3,4),(1,2,3),(1,2,3,4),(1,2,4,3),(1,2,4),(1,3,2),(1,3,4,2),(1,3), (1,3,4),(1,3)(2,4), (1,3,2,4), (1,4,3,2), (1,4,2), (1,4,3), (1,4), (1,4,2,3), (1,4)(2,3)$ }, y el $H$ es como tú señalaste. De acuerdo con la teoría de grupos, el número de cosetas correctas de un subgrupo en su grupo llamado índice es $ \frac {|G|}{|H|}$ . $|S_4|=4!$ y $|H|=| \langle (1,2),(3,4) \rangle |=4$ así que tienes el atlas $ \frac {4!}{4}=6$ cosetas a la derecha o a la izquierda para el subgrupo. Aquí no hay ningún tipo de $g$ se toma en grupo $G$ . Por ejemplo, si tomas $(1,2,4,3)$ en el grupo, entonces $(1,2,4,3)H$ ={ $(1,2,4,3)(),(1,2,4,3)(1,2),(1,2,4,3)(3,4),(1,2,4,3)(1,2)(3,4)$ }. Espero ayudar.
DonAntonio
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Tomemos por ejemplo $\, \pi := (123)\,$ : $$ \pi (1)= \pi\ ,,\, \pi (12)=(13)\,,\, \pi (34)=(1234)\,,\, \pi (12)(34)=(134) \Longrightarrow \pi H=\{(123),\,(13),\,(1234),\,(134)\}$$
Ahora trata de encontrar $\,H \pi\ ,$ y compruebe si puede encontrar ejemplos de $\, \pi\sigma ^{-1} \in H\,$ desde entonces
$\, \pi H= \sigma H\,$ y puedes ahorrar bastante tiempo.
