Si , Entonces

Question

Estoy aprendiendo acerca de la serie de Fourier y necesita ayuda con el siguiente ejercicio:

Deje que las funciones de $p, q \in L^1([0, 2\pi])$ ser delimitada y $2\pi$-periódico. Si $\int_0^{2\pi} q = 0$, muestran que

$$\lim_{n \to \infty} \int_0^{2\pi}p(x)q(nx) = 0.$$

Sugerencia: considerar en primer lugar la función de paso por $p$, entonces la aproximación.

Realmente estoy perdido aquí. Me hizo volver varias veces a través de mis notas y la única cosa que podría relacionarse este execise es el siguiente teorema

Deje $f \in L^1([a, b])$. Para cada $\varepsilon > 0$, existe una función de paso de $\psi$ tal que $\|f - \psi\|_{L^1[a, b]} < \varepsilon$.

Mi manera de entender esto es que podemos aproximar cualquier función integrable en un intervalo una función de paso. Desde $p \in L^1([0, 2\pi])$ por supuesto, el teorema anterior se mantiene. Esto es lo más lejos que tengo que hacer.

Answer 1

El teorema que dijiste está definitivamente relacionado con la pregunta. Deje que$s$ sea una función de paso para que$\| p-s\|_{L^1} <\epsilon$, luego

PS

donde$$\bigg|\int_0^{2\pi} p(x) q(nx) - \int_0^{2\pi}s(x) q(nx)\bigg|\le C\int_0^{2\pi}|p(x)-s(x)| <C\epsilon,$ es el límite de$C$, que es$q$ para todos$|q(y)|\le C$. Ahora, si ha mostrado el teorema para las funciones de paso, entonces hay$y\in [0,2\pi]$ para que

PS

para todos $N_\epsilon$. Entonces

$$ \begin{split} \bigg|\int_0^{2\pi} p(x)q(nx)\bigg| &\le \bigg|\int_0^{2\pi} p(x) q(nx) - \int_0^{2\pi}s(x) q(nx)\bigg|+\bigg|\int_0^{2\pi} s(x)q(nx) \bigg| \\ &\le (C+1)\epsilon \end {dividir} $$

para todos $$\bigg|\int_0^{2\pi} s(x)q(nx) \bigg| <\epsilon$. Por lo tanto, el teorema es verdadero para todos los$n\ge N_\epsilon$.

Answer 2

El lema de su densidad dice que es suficiente para probar el resultado para una función de la forma$q(x)=1_{[a,b]}(x)$$[a,b] \subset [0,2\pi]$.

Ahora \begin{align*} \int _{0}^{2\pi} q(x) p(nx) d x &= \int _{0}^{2n\pi} \frac{1}{n}q(x/n)p(x) d x \\ &= \sum _{k=0}^{n-1} \int _{2(k)\pi}^{2(k+1)\pi}\frac{1}{n} q(x/n)p(x) d x \\ &= \sum _{k=0}^{n-1} \int _{0}^{2\pi}\frac{1}{n} q((x+2k\pi)/n)p(x+2k\pi) d x\\ &=\sum _{k=0}^{n-1} \int _{0}^{2\pi}\frac{1}{n} q((x+2k\pi)/n)p(x) d x\\ &=\sum _{k=0}^{n-1} \int _{0}^{2\pi}\frac{1}{n} \left (\sum _{k=0}^{n-1} q((x+2k\pi)/n)\right )p(x) d x \end {align*}

Ahora$$\frac{1}{n} \left (\sum _{k=0}^{n-1} q((x+2k\pi)/n)\right )=2\pi\frac{1}{2\pi n} \left (\sum _{k=0}^{n-1} q((x+2k\pi)/n)\right )\rightarrow \int _{0}^{2\pi} q(x)dx = 2\pi (b-a)$ $

Lo último sigue ya que esta es una suma de Riemann. Y ahora, notando que$\frac{1}{n} \left (\sum _{k=0}^{n-1} q((x+2k\pi)/n)\right ) \leq 1$ podemos aplicar convergencia dominada y concluir que

PS