Un simple contraejemplo para su primera pregunta es la incontable punto en particular de la topología (ejemplo 10 en Steen y Seebach del Contraejemplos en la Topología). Deje $A$ ser una multitud innumerable, y deje $X$ ser distinto de la unión de $A$ con algún punto adicional $p$. Definir una topología en $X$ tomando como abrir cualquier conjunto que está vacío o contiene $p$. A continuación, $X$ es separable (de hecho, $\{p\}$ es denso en $X$). Ahora vamos a $C = \{\{x,p\} : x \in X\}$. Esta es una base para la topología de $X$, pero por ejemplo, $X$ sí no puede ser escrito como una contables de la unión de los conjuntos de $C$. (Vale la pena señalar, sin embargo, que $X$ es la primera contables: el único conjunto $\{x,p\}$ es un barrio de base al $x$).
Para tu segunda pregunta, se puede dar una prueba con simples palabras :) por supuesto, un separable espacio metrizable es segundo contable, por lo que tiene una contables base $\{U_n\}$. Deje $C$ ser cualquier base y $V$ ser abierto. Para cada $x \in V$, podemos encontrar $W_x \in C$$x \in W_x \subset V$. También podemos encontrar $U_{n(x)}$$x \in U_{n(x)} \subset W_x$. Ahora podemos elegir una contables set $E$ tal que $\{n(x) : x \in E\} = \{n(x) : x \in V\}$. (Más formalmente, creo que de la función de $n : V \to \mathbb{N}$; para cada una de las $k$, vamos a $E$ contienen un elemento de $n^{-1}(k)$ si es no vacío.) Ahora para cualquier $y \in V$ existe $x \in E$$n(x) = n(y)$, lo $y \in U_{n(y)} = U_{n(x)} \subset W_x$. Por lo tanto $\bigcup_{x \in E} W_x = V$, lo $V$ puede ser escrito como una contables de la unión de los conjuntos de $C$.
Tenga en cuenta que esto funciona en cualquier segundo contables espacio metrizable o no.