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Una propiedad de un espacio separable.

Supongamos que$(X,\tau)$ es un espacio topológico separable. Deje que$C$ sea una base para la topología$\tau$. ¿Es cierto que cualquier conjunto abierto en$\tau$ puede escribirse como una unión contable de elementos en$C$?

Si no, ¿es cierto lo anterior en el caso de un espacio metrizable separable?

Gracias phanindra

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DiGi Puntos 1925

La respuesta a la primera pregunta es no. Deje $\mathscr{D}$ ser una innumerable familia de casi distintos subconjuntos de a $\Bbb N$. Deje $X=\Bbb N\cup\mathscr{D}$. Cada una de las $n\in\Bbb N$ es aislado en $X$, y un abierto básicos nbhd de $D\in\mathscr{D}$ es cualquier conjunto de la forma $\{D\}\cup(D\setminus F)$ tal que $F$ es un subconjunto finito de $D$. Es fácil comprobar que este hace es definir una completamente regular la topología en $X$. $\Bbb N$ es claramente una contables subconjunto denso de $X$, lo $X$ es separable. Vamos $$\mathscr{B}=\Big\{\{n\}:n\in\Bbb N\Big\}\cup\Big\{\{D\}\cup(D\setminus F):D\in\mathscr{D}\text{ and }F\subseteq D\text{ is finite}\Big\}\;;$$ then $\mathscr{B}$ is a base for $X$, but $X$ itself is not the union of any countable subset of $\mathscr{B}$.

La respuesta a la segunda pregunta es . Cada espacio métrico separable es segundo contable, es decir, tiene una contables de la base. Segundo countability es claramente una enfermedad hereditaria de la propiedad, y cada segundo contables espacio es claramente Lindelöf, por lo que cada espacio métrico separable es hereditariamente Lindelöf. Ahora vamos a $\mathscr{B}$ ser cualquier base para el espacio métrico separable $X$, y deje $U$ ser cualquier no-vacío conjunto abierto en $X$; existe un subconjunto $\mathscr{U}\subseteq\mathscr{B}$ tal que $U=\bigcup\mathscr{U}$. $\mathscr{U}$ es una cubierta abierta de a $U$, e $U$ es Lindelöf (como un subespacio de la hereditariamente Lindelöf espacio de $X$), por lo $\mathscr{U}$ tiene una contables subcover $\mathscr{U}_0$. Pero, a continuación, $\mathscr{U}_0$ es una contables de la subfamilia de $\mathscr{B}$ cuya unión es $U$.

Añadido: Una forma de obtener un incontable casi la desunión de la familia de subconjuntos de a $\Bbb N$ es como sigue. Para cada número irracional $x$ deje $\langle q_x(k):k\in\Bbb N\rangle$ ser una secuencia de números racionales convergencia monótona a $x$. Es fácil ver que si $x$ $y$ son distintos irrationals, las secuencias de $\langle q_x(k):k\in\Bbb N\rangle$ $\langle q_y(k):k\in\Bbb N\rangle$ puede tener sólo un número finito de términos en común. Ahora vamos a $\varphi:\Bbb Q\to\Bbb N$ ser cualquier bijection, para cada uno de los irracionales $x$ deje $D(x)=\{\varphi(q_x(k)):k\in\Bbb N\}$, y vamos a $\mathscr{D}=\{D(x):x\in\Bbb R\setminus\Bbb Q\}$; $\mathscr{D}$ es una innumerable familia de casi subconjuntos disjuntos de a $\Bbb N$.

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Rudy the Reindeer Puntos 20855

He estado tratando de llegar con un simple ejemplo para responder a su primera pregunta (Brian respuesta es, por supuesto, completa y grande, pero todavía me pareció un simple ejemplo) así que aquí está:

Tome $X = \mathbb R$ y la topología $T_B$ con la base $$ B = \{ \{x\} \cup (\mathbb Q \cap (x - \varepsilon, x + \varepsilon)) \Big \vert \text{ where } x \in \mathbb R, \varepsilon > 0\}$$

A continuación, $\mathbb Q$ es denso en $\mathbb R$ $T_B$ (fácil de ver) pero no se puede escribir $\mathbb R$ como una contables de la unión de conjuntos en $B$ debido a que cada irracional tiene su propio conjunto en $B$, por lo que para cubrir todo lo que necesitan al menos un conjunto de $B$ número irracional.

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Reto Meier Puntos 55904

Un simple contraejemplo para su primera pregunta es la incontable punto en particular de la topología (ejemplo 10 en Steen y Seebach del Contraejemplos en la Topología). Deje $A$ ser una multitud innumerable, y deje $X$ ser distinto de la unión de $A$ con algún punto adicional $p$. Definir una topología en $X$ tomando como abrir cualquier conjunto que está vacío o contiene $p$. A continuación, $X$ es separable (de hecho, $\{p\}$ es denso en $X$). Ahora vamos a $C = \{\{x,p\} : x \in X\}$. Esta es una base para la topología de $X$, pero por ejemplo, $X$ sí no puede ser escrito como una contables de la unión de los conjuntos de $C$. (Vale la pena señalar, sin embargo, que $X$ es la primera contables: el único conjunto $\{x,p\}$ es un barrio de base al $x$).

Para tu segunda pregunta, se puede dar una prueba con simples palabras :) por supuesto, un separable espacio metrizable es segundo contable, por lo que tiene una contables base $\{U_n\}$. Deje $C$ ser cualquier base y $V$ ser abierto. Para cada $x \in V$, podemos encontrar $W_x \in C$$x \in W_x \subset V$. También podemos encontrar $U_{n(x)}$$x \in U_{n(x)} \subset W_x$. Ahora podemos elegir una contables set $E$ tal que $\{n(x) : x \in E\} = \{n(x) : x \in V\}$. (Más formalmente, creo que de la función de $n : V \to \mathbb{N}$; para cada una de las $k$, vamos a $E$ contienen un elemento de $n^{-1}(k)$ si es no vacío.) Ahora para cualquier $y \in V$ existe $x \in E$$n(x) = n(y)$, lo $y \in U_{n(y)} = U_{n(x)} \subset W_x$. Por lo tanto $\bigcup_{x \in E} W_x = V$, lo $V$ puede ser escrito como una contables de la unión de los conjuntos de $C$.

Tenga en cuenta que esto funciona en cualquier segundo contables espacio metrizable o no.

-1voto

user31509 Puntos 11

Deje que$X=\mathbb{R}_{\ell}$ sea la línea de Sorgenfrey, esto es separable pero no es un segundo contable. Es cierto si$X$ es metrizable porque en espacios metrables separables y el segundo contable son equivalentes.

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