Demostrar que si y sólo si .

Question

Pruebalo

PS

$$ \displaystyle \lim_{x\to\infty } \left({a\sqrt{x+1}+b\sqrt{x+2}+c\sqrt{x+3}}\right)=0$ $$$\text{if and only if}$$$ a+b+c=0.$ a + b + c = 0$. I tried to prove that if $ 0 $ primero, pero después de llegar aquí me quedé atascado$, the limit is $ $ Llegué aquí sustituyendo$$\lim_{x\to\infty } \left({\sqrt{x+1}\left(a+b\sqrt{1+\frac{1}{x+1}}+c\sqrt{1+\frac{2}{x+1}}\right)}\right)$ con $\sqrt{x+2}$

Edición: x tiende a infinito, no a 0. Transcribí incorrectamente.

Answer 1

Esto es simplemente falso.
Como$\lim_{x \to 0} x + n = n$ para todos$n \in \mathbb{N}$ y la raíz cuadrada es continua, tenemos$\lim_{x \to 0} \sqrt{x+n} = \sqrt{n}$.
Luego, debe mostrar \begin{align*} a + \sqrt{2} b + \sqrt{3}c = 0 \iff a+b+c =0. \end {align *} Tomar$a = 2$,$b = -\sqrt{2}$ y$c=0$, entonces LHS está satisfecho, pero RHS no.
Con$a=1$,$b=-1$ y$c=0$, el LHS no está satisfecho, pero el RHS está.

Answer 2

Para todos$x>0$ one tiene $$ \ eqalign {\ sum_ {i = 1} ^ 3 a_i \ sqrt {x + i} & = \ sum_ {i = 1} ^ 3 a_i \ bigl (\ sqrt {x + i} - \ sqrt {x} \ bigr) + \ sqrt {x} \ sum_ {i = 1} ^ 3 a_i \ cr & = \ sum_ {i = 1} ^ 3 {ia_i \ over \ sqrt {x + i} + \ sqrt {x}} + \ sqrt {x} \ sum_ {i = 1} ^ 3 a_i \. \ cr}. $$ Ahora deje$x\to \infty$, y la reclamación es inmediata.

Answer 3

Tenga en cuenta que tenemos

$$ \begin{align} a\sqrt{x+1}+b\sqrt{x+2}+c\sqrt{x+3}&=\sqrt{x}\left(a\sqrt{1+\frac{1}{x}}+b\sqrt{1+\frac{2}{x}}+c\sqrt{1+\frac{3}{x}}\right)\\\\ &=a\sqrt{x}\left(1+\frac{1}{2x}+O\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)\\\\ &+b\sqrt{x}\left(1+\frac{1}{x}+O\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)\\\\ &+c\sqrt{x}\left(1+\frac{3}{2x}+O\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)\\\\ &=(a+b+c)\sqrt{x}+\frac{(a+2b+3c)}{2\sqrt{x}}+O\left(\frac{1}{x^{3/2}}\right) \tag 1 \end {align} $$

desde donde vemos que el límite es cero si y solo si$a+b+c=0$

Answer 4

El límite está limitado si a + b + c = 0

verificar:$\lim_\limits{x \to \infty} \sqrt{x+k} - \sqrt {x} = 0$

$\lim_\limits{x \to \infty} a\sqrt{x+1} -a\sqrt{x}+ b\sqrt{x+2} -b\sqrt{x} + c\sqrt{x+3} -c\sqrt{x}= 0$

$\lim_\limits{x \to \infty} (a\sqrt{x+1} + b\sqrt{x+2} + c\sqrt{x+3}) = \lim_\limits{x \to \infty}(a+b+c) \sqrt{x}$

$\lim_\limits{x \to \infty}(a+b+c) \sqrt{x} = 0 \implies (a+b+c = 0)$

Answer 5

Puede asumir$x>0$ y sustituir$x=1/t^2$, con$t>0$, por lo que el límite se convierte en $$ \ lim_ {t \ to0 ^ +} \ frac {a \ sqrt {1 + t ^ 2 } + b \ sqrt {1 +2t ^ 2} + c \ sqrt {1 +3t ^ 2}} {t} $$ El límite es cero si$a+b+c=0$ e infinito de lo contrario.