Función generadora. Problema con la comprensión.

Question

Deje $F_0, F_1, F_2, ...$ ser los números de Fibonacci y deje $f$ sea la función definida $$f(x) = \frac{x}{1-x(1+x)}$$

Solución:

La función de $f$ es llamado la "generación de la función de la secuencia de $F_0, F_1, F_2, ...$ se trata de un "formal" expresión algebraica en el sentido de que se comporta de una forma natural algebraicas camino, sino el $x$ nunca toma un valor numérico, de los poderes que de ella actuando simplemente como el lugar de los marcadores " en el poder de la serie de$^1$. Teniendo esto en mente, vemos que $$f(x) = F_0 + F_1x + F_2x^2 + F_3x^3 + ....$$ $$xf(x) = F_0x + F_1x^2 + F_2x^3 + ....$$ $$x^2f(x) = F_0x^2 + F_1x^3 + ....$$ Pero sabemos que $F_2 = F_1 + F_0, F_3 = F_2 + F_1$, etc., y así restar el segundo y la tercera líneas de la primera nos da $f(x)(1 - x(1 +x)) = f(x) - xf(x) - x^2f(x) = **F_0 + (F_1 - F_0)x** = x$

Por favor me entiende. Destaco lo que la mayoría de los confuesed mí.

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$^1$ Entonces, ¿qué es x? f(x) es una función o no? Estoy tan confundido.

Answer 1

Este es un punto sutil. La idea es que cuando estaban manipulando el poder de la serie para $f(x)$ nunca dijo nada acerca de si o no la serie convergente -- en otras palabras, que fueron formalmente la manipulación de la serie. Un poder formal de la serie es sólo una potencia de serie utilizado sin hablar de la convergencia.

Para responder a su pregunta, $f(x)$ es no una función. En el (parafraseado) palabras de Herbert Wilf, un poder formal de la serie es un "tendedero de ropa en la que nos colgar una secuencia de números para mostrar". Utilizamos $f(x)$ a mantener un seguimiento de los números de Fibonacci; eso es todo. En el mismo sentido, se podría utilizar la serie $$ g(x) = 0! + 1!\cdot x + 2!\cdot x^2 + \cdots + n!\cdot x^n + \cdots $$ para seguir la pista de los factoriales de los números , incluso a pesar de que la serie converge solamente para $x=0$.