$A^A$ en la categoría de gráficos

Question

(referencia es Lawvere/Schanuel, Sesión de 31 De Ex. 1)

Estoy tratando de calcular la exponencial de objeto $A^A$ y su evalution mapa de $e \colon A \times A^A \to A$ en la categoría de gráficos, donde $A$ es la "flecha gráfico" (es decir. uno de flecha y dos puntos).

En la siguiente, $D$ es el gráfico con un punto y sin flechas, $1$ es el terminal de objeto en esta categoría (véase el gráfico con un punto y una flecha, el bucle).

Hasta ahora tengo:

• Los puntos de $\mathbf{1}\to A^A$ corresponden a los mapas de $A\to A$ (a través de dos estándar isomorphisms), y desde $\mathbf{1}$ es el bucle, y hay un mapa de los gráficos de $A \to A$, hay un bucle en $A^A$.
• Los puntos $D\to A^A$ corresponden a los mapas de $A \times D \to A$, de los cuales hay cuatro, por lo tanto, cuatro puntos en $A^A$.
• Las flechas $A \to A^A$ corresponden a los mapas de $A \times A \to A$, de los cuales hay cuatro, por lo tanto las cuatro flechas en $A^A$.

Pero estoy atascado en cómo poner esto juntos constituyen $A^A$ y su evaluación mapa.

Answer 1

Usted está mirando bien hasta ahora. La única información que falta es que las flechas con las que ir puntos. Así que vamos a introducir algunas anotaciones. Escribir $A=0\to 1$, por lo que el $A\times D=\{0,1\}$ $A\times A$ tiene vértices $\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$ y el borde único $\{((0,0),(1,1))\}$. Representan las cuatro mapas de $D\times A\to A$$00,01,10,11$, donde por ejemplo,$10(0)=1$$10(1)=0$. Escribir $p_x,p_y,m_1,m_0$ para los cuatro mapas de $A\times A\to A$, envío, respectivamente, $(0,1)\mapsto 0$ y $(1,0)\mapsto 1$; $(0,1)\mapsto 1$ y $(1,0)\mapsto 0$; $(0,1),(1,0)\mapsto 1$; $(0,1),(1,0)\mapsto 0$. Para determinar sus asociados vértices debemos precomponer $p_x,p_y,m_1,m_0$ con las dos inclusiones $0,1:D\to A$. En virtud de la transposición, estos se convierten en los dos mapas de $a,b:D\times A\to A\times A$$a(0)=(0,0),a(1)=(0,1),b(0)=(1,0),b(1)=(1,1)$. (Si usted tiene un inusual convenios para su producto Cartesiano, usted podría terminar para arriba con los dos "horizontal" de los mapas, en lugar de la vertical, aquí.)

Así que queremos componer cada una de las $p_x,...,m_0$ con cada uno de $a,b$. Este es ahora un sencillo cálculo: $p_xa=00,p_xb=11 , p_ya=01,p_yb=01,m_0a=00,m_0b=01,m_1a=01,m_1b=11$. Por lo tanto $A^A=(\{00,01,10,11\},\{(01,01),(00,11),(00,01),(01,11)\})$.