Definición de la convolución con distribuciones templadas y función de Schwartz

Question

En el libro donde estoy estudiando hay el siguiente ejercicio.

Si $x \in \mathbb{R}^n$ , $\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ y $u \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ definimos $(u \ast \varphi)(x)=\langle \tau_x \widetilde{\varphi} , u \rangle$ donde colocamos $(\tau_x \widetilde{\varphi})(y):=\widetilde{\varphi}(y-x):=\varphi(x-y)$ . Entonces

(a) $(u \ast \varphi)(x)$ es continua con respecto a $u \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ con respecto a $\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ y con respecto a $x \in \mathbb{R}^n$

(b) $u \ast \varphi$ es una distribución templada.

(c) Si $\psi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ tenemos \begin{align*} \langle \psi, u \ast \varphi \rangle = u \left ( \int_{\mathbb{R}^n} \psi(x) (\tau_x \widetilde{\varphi})(\cdot) dx \right ) \end{align*} y extender esta identidad al caso $\psi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ .

PISTA: Para demostrar (b), comprueba que $|(u \ast \varphi)(x)| \leq C(1+|x|^2)^N$ demostrando una estimación $q_N(\tau_x \varphi) \leq 2^N(1+|x|^2)^N q_N(\varphi)$ .

Tenga en cuenta que para mí existen estas definiciones. Sea $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ el espacio topológico dual de $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ . Tenemos que el mapeo $u \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n) \longmapsto v=u_{|\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)} \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ es lineal y uno a uno porque la convergencia en $\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ implica la convergencia en $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ y $u_{|\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)} \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ determina de forma única $u \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ . Entonces una distribución $v \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ es la restricción de un elemento $u \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ si y sólo si existe $N \in \mathbb{N}$ y una constante $C_N>0$ tal que

\begin{align*} |u(\varphi)| \leq C_N q_N(\varphi)=C_N \sup_{x \in \mathbb{R}^n; |\alpha| \leq N} (1+|x|^2)^N |D^\alpha \varphi(x)| , \forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n) \end{align*}

donde $q_N(\varphi)$ son seminormas que hacen que $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ un espacio de Fréchet. Los elementos de $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ o su restricción a $\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ se denominan distribuciones templadas.

Para demostrar (a). Pensé que se puede hacer con una aplicación del teorema del gráfico cerrado, demostrando que

$\tau_a \cdot : \varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n) \longmapsto \tau_a(\varphi)=\varphi(x-a) \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$

$\widetilde{\varphi} \cdot : \varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n) \longmapsto \widetilde{\varphi}=\varphi(-x) \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$

son continuas con respecto a la convergencia en $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ . ¿Es correcto, no?

¿Tiene alguna idea sobre el punto (b) y (c)?

Tenga en cuenta que (b) y (c) traté de mostrar de una manera diferente, como aquí Distribuciones templadas y convolución

Gracias por cualquier ayuda

Answer 1

Empecemos por demostrar la desigualdad de la pista: Para un número fijo de $x\in\mathbb{R}^{n}$ tenemos $$ \partial_y^\alpha(\tau_x\tilde{\psi})(y) = \partial_y^\alpha(\psi(x-y)) = (-1)^{|\alpha|}(\partial^\alpha\psi)(x-y) $$ y $$ (1+|x-z|^2)^N \leq (1+2|x|^2+2|z|^2)^N \leq 2^N(1+|x|^2+|z|^2)^N \leq 2^N (1+|x|^2)^N(1+|z|^2)^N. $$ Por lo tanto, $$ \sup_{|\alpha|\leq N,y\in\mathbb{R}^{n}} (1+|y|^2)^{N} |\partial^\alpha (\tau_x\tilde{\psi})(y)| = \sup_{|\alpha|\leq N,z\in\mathbb{R}^{n}} (1+|x-z|^2)^{N}|\partial^\alpha \psi(z)| \leq 2^N(1+|x|^2)^N q_N(\psi). $$ Ahora observe que como $\tau_x\tilde{\psi}\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})$ para todos $u\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^{n})$ y todos $N\in\mathbb{N}$ , hay $C_N>0$ tal que $$ |\psi*u(x)| = |\langle \tau_x\tilde{\psi},u\rangle |\leq C_n q_N(\tau_x\tilde{\psi}) \leq 2^N (1+|x|^2)^N C_N q_N(\psi). $$ Desde $u\ast\psi$ es continua y por tanto localmente integrable, obtenemos que $u\ast\psi$ es una distribución ya que, para $\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}^{n})$ $$ \langle \varphi, u\ast\psi\rangle = \int_{\mathbb{R}^{n}} \varphi(x)(u\ast\psi)(x)\;{\rm d}x. $$ Utilizando la estimación anterior para $N=1$ obtenemos $$ |\langle \varphi, u\ast\psi\rangle| \leq \int_{\mathbb{R}^{n}} |\varphi(x)||(u\ast\psi)(x)|\;{\rm d}x \leq 2 C_1 \int_{\mathbb{R}^{n}} (1+|x|^2) \frac{(1+|x|^2)^{n+2}}{(1+|x|^2)^{n+2}} |\varphi(x)|\;{\rm d}x \leq 2 C_1 q_1(\psi) q_{n+2}(\varphi) \int_{\mathbb{R}^{n}} \frac{{\rm d}x}{(1+|x|^2)^{n+1}} \leq C q_{n+2}(\varphi), $$ donde $C:=2 C_1 q_1(\psi)\int_{\mathbb{R}^{n}}\frac{{\rm d}x}{(1+|x|^2)^{n+1}}$ .

Ahora bien, la afirmación debe desprenderse del hecho de que $\mathcal{D}(\mathbb{R}^{n})\subset\mathcal{S}(\mathbb{R}^{n})$ es denso.

Answer 2

Yo también estoy aprendiendo estas cosas en este momento, así que ya os contaré qué me parece. No veo cómo usar el teorema del grafo cerrado, de hecho, necesitarías $\mathcal{S}=\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$ sea un espacio de Banach o Hausdorff compacto. No creo que se cumpla ninguna de las dos condiciones ( $\mathcal{S}$ es normable o compacto, al menos no lo creo). En cambio, podría ser más fácil demostrar (a) directamente. Digamos que se quiere demostrar (a) con respecto a $x$ . Sólo hay que tomar una secuencia $x_n$ en $\mathbb R^n$ que converge a $x$ digamos. Entonces

$$\lim_{n\to \infty} \langle\tau_{x_n} \tilde{\varphi},u\rangle= \langle\lim_{n\to\to \infty}\tau_{x_n} \tilde{\varphi},u\rangle=\langle \tau_x \tilde{\varphi},u\rangle$$ donde la última desigualdad se mantiene una vez que se demuestra $\tau_{x_n}\varphi\to \tau_{x}\varphi$ en $\mathcal{S}$ que no debería ser muy difícil de probar. Para la continuidad con respecto a $u$ se quiere demostrar que la función $u\mapsto u*\varphi(x)$ es continua para cada par $(x,\varphi)$ . Esto se deduce por la definición de convergencia de la distribución templada ya que $u_n\to u$ como distribución atemperada implica que $$\lim_{n\to \infty} \langle\tau_{x} \tilde{\varphi},u_n\rangle= \langle\tau_{x} \tilde{\varphi},u\rangle.$$ Soy demasiado perezoso para hacer (a) en relación con $\varphi$ . Pero me imagino que es el mismo tipo de argumento.

Para (b) y (c), hay una prueba en el Análisis Clásico de Fourier por Grafakos, y es el Teorema 2.3.20. en la 3ª edición. Desgraciadamente no entiendo del todo su demostración, especialmente la parte de la suma de Riemann.