Cambia R1 a 40-50kohm.
100kohm está muy por encima de los límites (literalmente, ni siquiera está en el gráfico del datasheet) del dispositivo, así que me aventuraría a adivinar que el límite de corriente es tan bajo que el 7221 no puede conducir adecuadamente las entradas del 2981, lo que hace que la tensión de salida caiga al punto de causar el mal funcionamiento.
Tienes un segundo problema también. El pin DIG0 tiene que absorber toda la corriente del cátodo común. ¿Estás seguro de que estás dentro de los límites de absorción de corriente del 7221? Incluso más problemático, cuando el DIG0 no está en funcionamiento, no pasa a estado de alta impedancia, sino que se va a V+ que es +5V frente a los +12V del LED driver. En este caso de un solo dígito puede que esté bien, pero eso significa que ese dígito nunca se apagará por completo, no podrías conectar un segundo dígito de esta manera. También podría significar que si DIG0 se va a alto y un segmento se enciende a bajo, verás un voltaje inverso de 5V a través del LED, no tengo idea de las especificaciones de voltaje inverso de un controlador así, pero vale la pena hacer una verificación de seguridad.
Una idea interesante. Cuando la señal de conducción del LED está alta (+12V) si la línea DIG0 se libera (+5V), básicamente estás aplicando 12-LED drop a la línea de +5V en el 7221, eso debería resultar en una corriente bastante alta, tanto como el LED permitirá. Parece que el 7221 sobrevive a esto, pero si su límite de corriente se activa para todos los IO, esta corriente podría estar activando al resto del chip en modo de límite de corriente causando que los pines SEG-IO caigan en voltaje. Solo una suposición aleatoria, de cualquier manera, utiliza un FET de canal P para controlar el cátodo común a tierra y ver si eso resuelve el problema.