Valor esperado de la distancia entre 2 puntos distribuidos uniformemente en el círculo

Question

Tengo el siguiente problema (relacionado con Bertrand ):

Dado un círculo de radio $a=1$ . Elige 2 puntos al azar en la circunferencia del círculo. A continuación, conecta estos puntos mediante una línea de longitud $b$ . ¿Cuál es la longitud esperada de esta línea? ( $\mathbb{E}[b]$ =..?)

He probado esto:

$x_i=\cos(\theta_i), y_i=\sin(\theta_i), \quad i=1,2$ , donde $\theta_i$ se distribuye uniformemente en $[0,2\pi]$

Luego he intentado calcular la distancia al cuadrado. La distancia al cuadrado entre dos puntos en el espacio euclidiano es:

$$d^2=(\cos(\theta_1)-\cos(\theta_2))^2+(\sin(\theta_1)-\sin(\theta_2))^2 $$

Ahora tomando las expectativas que tengo:

$$E(d^2)=2-2 \ ( \ E(\cos(\theta_1)\cos(\theta_2) + E(\sin(\theta_1)\sin(\theta_2) \ )$$ (como $E(\cos^2(\theta_i))=E(\sin^2(\theta_j))$

Entonces $$E(\cos(\theta_1)\cos(\theta_2))\overset{uniform}=\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi}\theta_1 \theta_2\cos^2(\frac{1}{2\pi})\ \mathrm{d}\theta_1 \ \mathrm{d}\theta_2 = 4\pi^4 \cos^2(\frac{1}{2\pi})$$

y

$$E(\sin(\theta_1)\sin(\theta_2))\overset{uniform}=\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi} \theta_1 \theta_2\sin^2(\frac{1}{2\pi})\ \mathrm{d}\theta_1 \ \mathrm{d}\theta_2 = 4\pi^4 \sin^2(\frac{1}{2\pi})$$

para que $$d^2=2-4 \pi^2 \left(\cos^2(\frac{1}{2 \pi}) + \sin^2(\frac{1}{2\pi})\right)=2-4 \pi^2$$

Pero eso no tiene sentido ya que es negativo. Se agradece cualquier ayuda

Answer 1

Puede asumir el primer punto $A$ en $(1,0)$ y el segundo punto $B=(\cos\phi,\sin\phi)$ que se distribuyen uniformemente en el círculo. La medida de probabilidad viene dada entonces por ${1\over2\pi}{\rm d}\phi$ . La distancia $D:=|AB|$ computa a $2\left|\sin{\phi\over2}\right|$ y obtenemos $${\mathbb E}(D)={1\over 2\pi}\int_{-\pi}^\pi 2\left|\sin{\phi\over2}\right|\ d\phi={1\over \pi}\int_0^\pi 2\sin{\phi\over2}\ d\phi={4\over\pi}\ .$$