Por favor corrige mi trabajo, encontrando eigenvector

Question

Determinar si la matriz a es Diagonalizable. si es así , determinar la matriz P que Diagnolizes y calcular $P^{-1}AP$.

$$A= \begin{bmatrix} +3 & +2\\ -2 & -3\\ \end{bmatrix}$$

$$A-\ell I = \begin{bmatrix} +3-\ell & +2\\ -2 & -3-\ell\\ \end{bmatrix}$$ Entonces Determinante debe ser cero : $$\begin{vmatrix} +3-\ell & +2\\ -2 & -3-\ell\\ \end{vmatrix}=(3-\ell)(-3-\ell)+4=0 \a \ell^2-5=0 \a \ell_{1}=\sqrt 5,\ell_{2}=-\sqrt5 ,$$ $$\begin{bmatrix} 3-\ell_{1}& +2\\ -2 & -3-\ell{1}\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3-\sqrt 5=0.76& +2\\ -2 & -3-\sqrt 5=-5.24\\ \end{bmatrix}\{R_1\Leftarrow\Rightarrow R2 \mapsto} \begin{bmatrix} -2 & -5.24\\ 0.76& +2\\ \end{bmatrix}\{R_1=R1/{-2}\mapsto} \begin{bmatrix} 1 & 2.62\\ 0.76& +2\\ \end{bmatrix}\{R_2=R2-0.76R1\mapsto} \begin{bmatrix} 1 & 2.62\\ 0 & 0.009\\ \end{bmatrix}\{R_2=R2/0.009\mapsto} \begin{bmatrix} 1 & 2.62\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix}\{R_1=R1-2.62R1\mapsto} \begin{bmatrix} 1 & 0 | 0\\ 0 & 1 | 0\\ \end{bmatrix}$$ $then$ $$V_1= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$$ Estoy atrapado aquí , la matriz de $0,0$ es la respuesta correcta vector propio 1 ?

Answer 1

Los autovalores son correctos. Sin embargo, usted se equivoca en el cálculo de los vectores propios:

$$\begin{bmatrix} 3-\sqrt{5} & 2\\ -2 & -3-\sqrt{5} \end{bmatrix}$$

Dividir la primera fila por $3-\sqrt{5}$, lo que es lo mismo que multiplicar por $(3+\sqrt{5})/2$, al pasar

$$\begin{bmatrix} 1 & \frac{3+\sqrt{5}}{2}\\ -2 & -3-\sqrt{5} \end{bmatrix}$$

Ahora agregar a la segunda fila de la primera multiplicada por $2$ trae la matriz en la forma

$$\begin{bmatrix} 1 & \frac{3+\sqrt{5}}{2}\\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

así que usted sabe que uno es autovector

$$\begin{bmatrix} -\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\ 1 \end{bmatrix}$$

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Los cálculos para el otro autovalor son similares

$$\begin{bmatrix} 3+\sqrt{5} & 2\\ -2 & -3+\sqrt{5} \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 1 & \frac{3-\sqrt{5}}{2}\\ -2 & -3+\sqrt{5} \end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix} 1 & \frac{3-\sqrt{5}}{2}\\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

Así que el otro autovector que estás buscando es $$\begin{bmatrix} -\frac{3-\sqrt{5}}{2}\\ 1 \end{bmatrix}$$

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Por supuesto, una matriz que diagonalizes $A$ es

$$P= \begin{bmatrix} -\frac{3+\sqrt{5}}{2} & -\frac{3-\sqrt{5}}{2}\\ 1&1 \end{bmatrix}$$

Answer 2

El problema es que redondeaste. El 0.009 en la segunda fila es de hecho un 0.