¿Es esta serie condicionalmente convergente o absolutamente convergente? $ \sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\frac{k^{k}}{\left(k+1\right)^{k+1}} $

Question

¿Es esta serie condicionalmente convergente o absolutamente convergente? ¿Cómo probarlo?

Intenté la prueba de relación y la prueba de raíz, pero creo que no funcionó.

$ \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ left (-1 \ right) ^ {k +1} \ frac {k ^ {k}} {\ left (k +1 \ right) ^ {k +1}} $

Answer 1

Para mostrar que$\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\frac{k^{k}}{\left(k+1\right)^{k+1}}$ converge, es suficiente mostrar que$k \mapsto \frac{k^{k}}{\left(k+1\right)^{k+1}}$ está disminuyendo monótonamente y luego podemos aplicar la prueba de la serie alterna .

Considere$$f(x) = \ln\frac{x^x}{(x+1)^{x+1}} = x \ln x - (x+1)\ln (x+1)$$ We have $ f '(x) = \ ln x - \ ln (x + 1) <0$ so $ f $ está disminuyendo monótonamente.

Entonces,$e^{f(x)} = \frac{x^x}{(x+1)^{x+1}}$ también está disminuyendo monótonamente, por lo que la reclamación sigue.

Answer 2

Consejos

Use la prueba de series alternas para determinar si la serie es convergente. Para la convergencia absoluta use la prueba de comparación de límites, observando que $$ \ lim_ {k \ to \ infty} \ frac {k ^ k} {(k +1) ^ {k +1}} \ biggr / \ frac {1} {k} = \ lim_ {k \ to \ infty} \ left (1- \ frac {1} {k +1} \ right) ^ {k +1} = \ frac {1} {e} $$ y compare Con la serie armónica.