Calcula

Question

Evaluar$\int_0^{2\pi} \frac 1{\sin^4x+\cos^4x}dx$

Mi intento:

$I=\int_0^{2\pi}\frac 1{\sin^4x+\cos^4x}dx=\int_0^{2\pi}\frac 1{(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2(2x)}dx=\int_0^{2\pi}\frac {1}{1-2\sin^2(2x)}dx=\frac 12\int_0^{4\pi}\frac 1{1-2\sin^2(x)}dx=\frac 12 \int_0^{4\pi}\frac {1}{\cos(\frac{x}2)}dx=\int_0^{2\pi}\frac 1{\cos x}dx=0$

Así que en realidad es:

PS

Ahora, si trato de hacer la sustitución$$I=2\int_0^{2\pi}\frac {1}{2-\sin^2(2x)}dx=\int_0^{4\pi}\frac{1}{2-\sin^2(x)}dx=\int_0^{4\pi}\frac 1{1+\cos^2x}dx$, obtengo la integral de$u=\tan(\frac x2)$ a$0$ ... ¿Por qué?

¿Que estoy haciendo mal?

Answer 1

Bajo$x\to\tan x\to x-\frac1x$, uno tiene \begin{eqnarray} &&\int_0^{2\pi} \frac 1{\sin^4x+\cos^4x}dx\\ &=&4\int_0^{\pi/2} \frac 1{\sin^4x+\cos^4x}dx\\ &=&4\int_0^{\pi/2} \frac {\sec^2x}{1+\tan^4x}\sec^2xdx\\ &=&4\int_0^{\infty} \frac{1+x^2}{1+x^4}dx\\ &=&4\int_0^{\infty} \frac{1+\frac1{x^2}}{x^2+\frac1{x^2}}dx\\ &=&4\int_0^{\infty} \frac{1}{\left(x-\frac1{x}\right)^2+2}d\left(x-\frac1x\right)\\ &=&4\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2+2}dx\\ &=&\frac{4}{\sqrt2}\arctan(\frac{x}{\sqrt2})|_{-\infty}^{\infty}\\ &=&2\pi\sqrt2. \end {eqnarray}

Answer 2

Un enfoque fácil para este problema es dividir tanto el numerador como el denominador por$\dfrac{\tan^4x}{\tan^4x}$$$\dfrac{1}{\sin^4x+\cos^4x}\left(\dfrac{\tan^4x}{\tan^4x}\right)=\dfrac{\sec^4x}{1+\tan^4x}=\dfrac{(1+\tan^2x)\sec^2x}{1+\tan^4x}$ $

Ahora puede usar$u-$ sustitución$u=\tan x$

¿Puedes tomarlo desde aquí?

Answer 3

Sabe que$$\sin^4x+\cos^4x=1-\dfrac12\sin^22x=1-\dfrac12\left(\dfrac{1-\cos4x}{2}\right)$ $ es periódico con el período$T=\dfrac{\pi}{2}$, así que escriba$$\int_0^{2\pi} \frac 1{\sin^4x+\cos^4x}dx=4\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{(1+\tan^2x)^2}{1+\tan^4x}dx=4\int_0^\infty\dfrac{1+t^2}{1+t^4}dt=4\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}=\color{blue}{2\sqrt{2}\pi}$ $

Answer 4

$\newcommand{\Re}{\operatorname{Re}}\newcommand{\Im}{\operatorname{Im}}$ El integrando es periódico con el período$\frac \pi 2$ por lo tanto: \begin{align} I:=\int^{2\pi}_0 \frac{1}{\sin^4 (x)+\cos^4(x)}\,dx = 4 \int^{\pi/2}_0 \frac{1}{\sin^4(x)+\cos^4(x)}\,dx \end {align} La aplicación de la sustitución de Weierstrass ahora conduce a un polinomio de alto orden en el denominador, puede reducir las potencias al notar que: \begin{align} I &= 4\int^{\pi/2}_0 \Re\frac{1}{\sin^2(x)+i\cos^2(x)}-\Im \frac{1}{\sin^2(x)+i\cos^2(x)} \,dx \\ &= 4(\Re J- \Im J) \end {align} donde$$J:= \int^{\pi/2}_0 \frac{1}{\sin^2(x)+i\cos^2(x)} \,dx$$ now we set $ t = \ tan (x)$ to get $$J = \int^\infty_0 \frac{1}{t^2+i}\,dt = \frac 1 2 \int^\infty_{-\infty}\frac{1}{t^2+i}\,dt$ $ Esta integral es solo una aplicación estándar del Teorema de residuos:

$$J=\frac \pi 2 e^{-i\pi/4}$ $ Entonces:$$I = 2\pi \left[\cos\left(-\frac \pi 4 \right) -\sin\left(-\frac \pi 4 \right)\right] = 2\sqrt[]{2}\ \pi $ $

Answer 5

Tenemos

$$\sin^4(x)+\cos^4(x)+2\sin^2(x)\cos^2(x)-2\sin^2(x)\cos^2(x)$ $ y

PS