Incontabilidad de las clases de equivalencia de $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$

Question

Dejemos que $a,b\in[0,1]$ y definir la relación de equivalencia $\sim$ por $a\sim b\iff a-b\in\mathbb{Q}$ . Esta relación divide $[0,1]$ en clases de equivalencia donde cada clase consiste en un conjunto de números que son equivalentes bajo $\sim$ ,

Mi libro de texto dice (sin pruebas):

El conjunto $[0,1]/\sim$ consiste en un número incontable de estas clases, donde cada clase consta de un número contable de miembros.

¿Cómo puedo demostrar formalmente esta afirmación?

Answer 1

Si sabes $\Bbb Q$ es contable, que cubre la segunda mitad. A continuación, utilice el hecho de que una unión contable de conjuntos contables es de nuevo contable para mostrar que debe haber incontablemente muchas clases.

Answer 2

Dado $a \in [0,1]$ la clase de $a$ es $\{a + q : a+q\in[0,1], q\in\mathbb Q\}$ por lo que esta clase tiene la cardinalidad $\aleph_0$ . Supongamos ahora que hay un número contable de clases. La unión de tantos conjuntos contables es de nuevo contable, por lo que se obtiene que $[0,1]$ es contable, lo cual es una contradicción. Así que hay incontables clases de equivalencia bajo ~.