Si los distintos números$a,b,c\in\mathbb N^+$ satisfacen$(a+b)(a+c)=(b+c)^2$, pruebe que$(b-c)^2>8(b+c)$.

Question

Si los distintos números$a,b,c\in\mathbb N^+$ satisfacen$$(a+b)(a+c)=(b+c)^2$$prove that $$(b-c)^2>8(b+c).$ $

Lo primero que hice después de ver el problema fue convertir la desigualdad en esto:$$(b+c)^2-8(b+c)-4bc>0$ $

Después de muchos enfoques diferentes, todavía no puedo encontrar una manera de resolver esto.

Answer 1

$(a+b)(a+c)=(b+c)^2\implies a^2 +a(b+c)+bc-(b+c)^2=0$, que es una acción cuadrática en$a$. Resolviendo para$a=\frac {-2(b+c)+\sqrt{(b+c)^2-4bc+4(b+c)^2}}{2}=\frac {-2(b+c)+\sqrt{(b-c)^2+4(b+c)^2}}{2}$, (tomamos la raíz positiva desde$a\ge1$).

o,$\frac {-2(b+c)+\sqrt{(b+c)^2-4bc+4(b+c)^2}}{2}\ge1$

o,$(b-c)^2+4(b+c)^2\ge(2+2b+2c)^2$

o,$(b-c)^2 \ge 4(1+b+c)^2-4(b+c)^2=4(1+2b+2c)>8(b+c).$