Aquí están algunos ejemplos normalizados de definibles establece que no se pueden definir sobre la emptyset en una variable libre.
Definimos $\varphi(\mathfrak{A})=$ el conjunto, el cual es definido por $\varphi$ en un modelo de $\mathfrak{A}$.
$\mathbf{Example}$ $\mathbf{1}$: Deje $L=\{E\}$ y deje $T$ ser la teoría de la infinidad de clases de equivalencia, cada uno con un número infinito de elementos. Deje $\mathfrak{A} \models T$. Tenga en cuenta que aquí, la única definibles conjuntos son la emptyset y en el modelo completo. Sin embargo, nos deja lindan con un constante símbolo para algún elemento en cada clase de equivalencia. Consideremos ahora el definibles conjuntos de $(\mathfrak{A},a_i)_{i\in X}$ tal que para cada $a_i, a_j$ $a_iEa_j \iff i=j $. Ahora realmente podemos definir cada clase de equivalencia en este modelo. Consideramos que la fórmula $\varphi_i(x,a_i)=xEa_i$. Por lo tanto, $|\varphi_i(\mathfrak{A})|=|M|$$\varphi_i(\mathfrak{A})\cap\varphi_j(\mathfrak{A})=\emptyset \iff i\neq j$. Ahora, tenemos una infinidad de definibles conjuntos, cada uno de coinfinite tamaño, que (pairwise incompatibilidad) de la partición de los elementos de nuestro modelo.
$\mathbf{Example}$ $\mathbf{2}$: Deje $L=\{\leq\}$. Consideramos $\mathfrak{A}=\{\mathbb{N}+\mathbb{Z};\leq\}$. Nuestro tipo de orden es el de los números naturales con un $\mathbb{Z}$-de la cadena en el extremo. Es fácil mostrar que todos los subconjuntos definidos por encima de la emptyset son finito o cofinite. Permítanos consdier los conjuntos definibles $X=\{a\}$ donde $a$ es infinitamente mayor que muchos de los elementos de nuestro modelo. ¿Qué podemos ahora definir? Ahora podemos definir una coinfinite conjunto. Tenga en cuenta que para cada elemento $x \in$ $\mathfrak{A}$, sabemos que existe un número infinito de elementos mayor que $x$. De esta manera se sigue desde $\mathfrak{A}\equiv\{\mathbb{N};\leq\}$. Ahora, considere la fórmula $\varphi(x,a)=x\geq a$. Ahora $|\mathfrak{A}-\varphi(\mathfrak{A})|=|\varphi(\mathfrak{A})|=\aleph_0$. Por lo tanto, este conjunto, $\varphi(\mathfrak{A})$ no fue definida antes, pero ahora es definible.
$\mathbf{Antiexample}$ $\mathbf{1}$: Deje $L=\{+,\times,0,1\}$ y deje $ACF_0$ ser la teoría de la algebraicamente cerrado campos de característica cero. Deje $\mathfrak{A}\models ACF_0$. Consideramos los conjuntos definibles en una variable libre. Tenga en cuenta que la única cosa que se puede decir (de forma atómica, en una variable libre) es el equivalente a $p(x)=0$ o $p(x)\neq 0$ donde $p(x)$ es un polinomio. Ahora, ¿cuáles son los conjuntos definibles? Podemos definir cada (algebraica) conjunto finito y cada cofinite conjunto (con todas las trascendentales en nuestro modelo). Si tenemos algebraicas elementos $a_1,...,a_n$, tenemos un polinomio definible en nuestro idioma tal que $p({\mathfrak{A}})=\{a_1,...,a_n\}$. Sin embargo, no hay ninguna fórmula que va a separar a los trascendentales de nuestra cofinite conjuntos, es decir, $\neg p(\mathfrak{A})$ claramente contiene cada trascendental por definición. Tenga en cuenta que para definir un conjunto infinito que no contiene ningún transendentals sobre cualquier conjunto de parámetros (incluyendo el uso de todo nuestro modelo como parámetros) es imposible. Por qué? Sólo podemos decir $p(x)=0$ o $\neg p(x)=0$. Desde $\neg p(x) =0$ siempre define un conjunto con todas las trascendental de los elementos, es inútil. Desde $p(x)=0$ sólo define un número finito de elementos, entonces cualquier finito disyunción (es decir,$[p(x)=0]\vee...\vee [q(x)=0]$) define un número finito de elementos. Ya hay infinitamente muchos algebraicas elementos, hemos terminado.
$\mathbf{Motivation}$ $\mathbf{1}$: El primer tipo de motivación es la clasificación. Una teoría de la $T$ es lo que se llama fuerza mínima si todos los conjuntos definibles en el modelo con parámetros es finito o cofinite. Un ejemplo de esto son algebraicamente cerrado campos de la característica $p$ (esencialmente, stongly un mínimo de teorías es un anti-ejemplo a tu pregunta). Claramente, la clasificación es importante, ya que podemos lidiar con las colecciones de las teorías en lugar de trabajar en cada una teoría en particular. Pero esto es sólo una cara de la moneda.
$\mathbf{Motivation}$ $\mathbf{2}$: Morely Rango está al otro lado. Morely Rango, de manera informal, a la pregunta "¿cuántas colecciones infinitas de pares incomparable conjuntos definibles hay en su modelo?". Si quieres, puedo editar mi post y lo definen, sin embargo, esto puede ser encontrado en el Marcador del texto, el Modelo de la Teoría: Una Introducción. Por ejemplo, en el Ejemplo 1 se tiene un Morely Rango de 1 (Rango empieza en 0). Como se define en el ejemplo, podemos dividir el modelo en infinidad de secciones, cada no de intersección. Entonces, podemos hacer esto de nuevo, y se miran el uno (singleton) elemento en una determinada clase de equivalencia.
$\mathbf{Importance}$: Morely Rango y fuertemente mínima teorías, como herramientas de clasificación, fueron vitales para la prueba de Morley Categoricity Teorema, es decir, para todo completo, de primer orden teorías $T$ en una contables idioma, si $T$ es categórico en algunos de los innumerables poder, a continuación, $T$ es categórico en todos los innumerables poderes.
$\mathbf{Conclusion}$: En la lógica de primer orden, los posibles conjuntos definibles y el número de pares incomparable definibles da lugar a la clasificación que a su vez le permite a uno para demostrar que no trivial de teoremas.
