Estoy usando Dolgachev del libro sobre la teoría de invariantes para aprender alineaciones de acciones del grupo. Aquí es un boceto de la construcción principal: dejar algebraicas lineales grupo $G$ actuar en un cuasi-variedad proyectiva $X$, y deje $L$ ser una muy amplia gama de paquete que proporcionan una linealización de la acción, $G$ actúa en $W=H^0(X, L)$ por
$$
(g \cdot s)(x)=sg(g^{-1}x)
$$
y el mapa
$$
X \to \mathbb{P}(W^\vee)
$$
que envía a $x \in X$ a la hyperplane $\{s \in W | s(x)=0\} \subset W$ es equivariant, donde la acción de $G$ $W^\vee$ (pensamos en $W^\vee$ como un espacio de hyperplanes) es el dual de la acción en $W$ que es dada por
$$
g \cdot H=g^{-1}H,
$$
para un hyperplane $H \in W^\vee$.
No entiendo uno de los pasos de la prueba de que este mapa es equivariant. Las siguientes secuencias de identidades se utiliza $$ \{s \W | s(g \cdot x)=0\}=\{s \W | g^{-1}s(g \cdot x)=0\}=\{s \W | (g^{-1} \cdot s)(x)=0\}=g^{-1}\{s \W |s(x)=0 \}=g \cdot\{s \W | s(g \cdot x)=0\} $$ a la conclusión de que el mapa es equivariant. No entiendo por qué $$ \{s \W | (g^{-1} \cdot s)(x)=0\}=g^{-1}\{s \W |s(x)=0 \}, $$ Yo creo que debe ser $$ \{s \W | (g^{-1} \cdot s)(x)=0\}=g\{s \W |s(x)=0 \}, $$ pero, a continuación, el mapa no es equivariant.
